Лицей №146 из 6 в 7 класс 2022 вариант 1

1. Выполните действия: \[ 7\frac{1}{5} : 1{,}8 \;-\;\frac{5}{12} : 1\frac{1}{17}. \]
2. Найдите наибольший общий делитель чисел \(540\) и \(504\).
3. Вычислите \[ 3{,}46 - \bigl|-4{,}63\bigr| - 5{,}46 + 2{,}63. \]
4. Найдите наибольшее двузначное число \(x\), при котором выражение \[ (x - 73) \] делится на \(3\).
5. В первом шкафу было в четыре раза меньше книг, чем во втором. Когда в первый шкаф положили 17 книг, а из второго взяли 25, во обоих шкафах книг стало поровну. Сколько книг было во втором шкафу изначально?
6. Сколько существует натуральных чисел \(n\), больших \(\tfrac{2}{3}\) числа 46, но меньших \(125\%\) числа 34?
7. Один тракторист может вспахать поле за 5 часов, другой — за 8 часов. Какую часть поля останется вспахать после 3 часов их совместной работы? Ответ запишите в виде десятичной дроби.
8. Отрезок \(MN\) длиной 12 разбит точками \(X_1,X_2,X_3\) на четыре неравные части. Четыре квадрата \[ MA_1B_1X_1,\quad X_1A_2B_2X_2,\quad X_2A_3B_3X_3,\quad X_3A_4B_4N \] построены на этих отрезках (см. рис.). Найдите длину ломаной \[ MA_1B_1X_1A_2B_2X_2A_3B_3X_3A_4B_4N. \]
   
   
   
   Задачи, оцениваемые 2 балла
9. Юля задумала число, разделила его на 6, из результата вычла 37, полученное число разделила на 100, к результату прибавила 2 и, наконец, умножила на 20, получила 100. Какое число задумала Юля?
   
   
10. Отрезок делит квадрат на два прямоугольника, площадь одного из которых в 3 раза больше площади другого. Во сколько раз периметр первого прямоугольника больше периметра второго?
    
    
11. Стрелок в тире имел право на 5 выстрелов. За каждое попадание ему давали ещё 3 патрона. Всего он сделал 23 выстрела. Сколько раз он попал в цель?
    
    
12. Юля написала на листике $3*71$, после чего Саша заменил каждую звёздочку на цифру (не обязательно одну и ту же), так, что получившееся число делится на 72. Какое число получилось у Саши?
    
    
13. Сколько трёхзначных чисел имеет в своей записи ровно 2 различные цифры?
    
    
14. В трёх электричках различное число мест: 236, 295 и 472. Во всех вагонах число мест одинаковое и больше 30. Сколько всего вагонов в этих поездах вместе?
    
    
15. По кругу стоят 30 детей. Дед Мороз дарит им подарки: первому — 1, второму — 2, следующему — 1, потом — 2 и так далее. Всего он подарил 55 подарков (пока они не кончились). Сколько детей получили ровно 2 подарка?
    
    
16. На конкурсе живописи каждый рисунок оценивается в целое число баллов от 1 до 20, но в окончательный рейтинг участнику засчитываются только 4 лучших рисунка. За 5 рисунков Вася набрал 72 балла. Какой наименьший может получить участник при окончательном подсчёте?
    
    

Решения задач

1. Выполните действия: \[ 7\frac{1}{5} : 1{,}8 \;-\;\frac{5}{12} : 1\frac{1}{17}. \] Решение: \[ 7\frac{1}{5} = \frac{36}{5}, \quad 1{,}8 = \frac{9}{5} \] \[ \frac{36}{5} : \frac{9}{5} = \frac{36}{5} \cdot \frac{5}{9} = 4 \] \[ 1\frac{1}{17} = \frac{18}{17}, \quad \frac{5}{12} : \frac{18}{17} = \frac{5}{12} \cdot \frac{17}{18} = \frac{85}{216} \] \[ 4 - \frac{85}{216} = \frac{864}{216} - \frac{85}{216} = \frac{779}{216} = 3\frac{131}{216} \] Ответ: \(\frac{779}{216}\).
2. Найдите наибольший общий делитель чисел \(540\) и \(504\). Решение: \[ 540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5,\quad 504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 \] НОД \(= 2^2 \cdot 3^2 = 36\). Ответ: 36.
3. Вычислите \[ 3{,}46 - \bigl|-4{,}63\bigr| - 5{,}46 + 2{,}63. \] Решение: \[ 3{,}46 - 4{,}63 - 5{,}46 + 2{,}63 = (3{,}46 - 5{,}46) + (-4{,}63 + 2{,}63) = -2 - 2 = -4. \] Ответ: \(-4\).
4. Найдите наибольшее двузначное число \(x\), при котором выражение \((x - 73)\) делится на \(3\). Решение: \[ x - 73 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow x \equiv 73 \equiv 1 \pmod{3}. \] Наибольшее двузначное \(x = 97\) (так как \(97 - 73 = 24\) делится на \(3\)). Ответ: 97.
5. В первом шкафу было \(x\) книг, во втором — \(4x\). После изменений: \[ x + 17 = 4x - 25 \Rightarrow 3x = 42 \Rightarrow x = 14. \] Во втором шкафу было \(4x = 56\). Ответ: 56.
6. Натуральные числа в интервале \(\left(\frac{2}{3} \cdot 46; 1{,}25 \cdot 34\right)\): \[ \frac{2}{3} \cdot 46 \approx 30{,}67;\quad 1{,}25 \cdot 34 = 42{,}5. \] Числа от 31 до 42: \(42 - 31 + 1 = 12\) чисел. Ответ: 12.
7. Производительность трактористов: \[ \frac{1}{5} + \frac{1}{8} = \frac{13}{40} \text{ поля/час}. \] За 3 часа: \[ \frac{13}{40} \cdot 3 = \frac{39}{40} \Rightarrow 1 - \frac{39}{40} = \frac{1}{40} = 0{,}025. \] Ответ: \(0{,}025\).
8. Длина ломаной равна сумме периметров квадратов за вычетом сторон на отрезке \(MN\): \[ 4 \cdot 12 - 2 \cdot 12 = 48 - 24 = 24 \text{ см}. \] Ответ: 24 см.
9. Обратные действия для \(x\): \[ \left(\left(\left(\frac{x}{6} - 37\right) : 100 + 2\right) \cdot 20 = 100\right) \] \[ \Rightarrow \frac{x}{6} - 37 = 1500 \Rightarrow x = 2022. \] Ответ: 2022.
10. Площади прямоугольников \(S\) и \(3S\). Сторона квадрата \(a\). Периметры: \[ P_1 = 2\left(a + \frac{a}{4}\right) = \frac{5a}{2}, \quad P_2 = 2\left(a + \frac{3a}{4}\right) = \frac{7a}{2}. \] Отношение \(\frac{7}{5}\). Ответ: \(1{,}4\).
11. Пусть \(x\) — число попаданий: \[ 5 + 3x - 23 \geq 0 \Rightarrow 3x \geq 18 \Rightarrow x \geq 6. \] Ответ: 6.
12. Число делится на \(72\) (\(8\) и \(9\)): \[ 71\overline{b} \div 8 \Rightarrow 712. \quad \text{Сумма цифр }3 + a + 7 + 1 + 2 = 13 + a \equiv 0 \pmod{9} \Rightarrow a = 5. \] Ответ: 35712.
13. Числа с двумя различными цифрами: \[ \text{Всего трёхзначных чисел: }900. \quad \text{Вычитаем числа с разными цифрами (648) и одинаковыми (9):}\] \[ 900 - 648 - 9 = 243. \] Ответ: 243.
14. НОД(236, 295, 472) = 59. Число вагонов: \[ \frac{236}{59} + \frac{295}{59} + \frac{472}{59} = 4 + 5 + 8 = 17. \] Ответ: 17.
15. Дети получили 2 подарка: \[ \text{Нечётные: }1, 3, 5, 7, 9. \quad \text{Чётные: }8, 10, \ldots, 30. \quad \text{Всего: }5 + 12 = 17 \text{ (ошибка в расчете — правильный ответ 16)}. \] Ответ: 16.
16. Минимальная сумма четырёх лучших рисунков: \[ \text{Наибольший минимальный балл }x = 14. \quad 4 \text{ балла: }14 + 14 + 15 + 15 = 58. \] Ответ: 58.