Лицей №146 из 6 в 7 класс 2020 год вариант 3

1. Догадайтесь, из какого крылатого выражения можно получить следующую фразу, если заменить в нём все слова и выражения на научнообразные: «Производительный труд не является хищным животным и не может переместиться в обычную для этого хищника среду обитания».
2. Коробка и 100 лежащих в ней одинаковых алюминиевых шариков весят 510 граммов. Такая же коробка и 100 одинаковых пластмассовых шариков, лежащих в ней, весят 490 граммов. Сколько весит коробка и лежащие в ней 20 алюминиевых и 80 пластмассовых шариков?
3. Прямоугольник $7\times14$ разбит линиями на единичные квадратики. Сколько всего треугольников образуется после проведения одной из диагоналей прямоугольника?
4. Найдите все натуральные числа такие, что если к ним прибавить их наименьший натуральный делитель, отличный от 1, то получится 42.

Решения задач

1. Догадайтесь, из какого крылатого выражения можно получить следующую фразу, если заменить в нём все слова и выражения на научнообразные: «Производительный труд не является хищным животным и не может переместиться в обычную для этого хищника среду обитания».
   Решение: Перевод научных терминов на простой язык: "труд" → "работа", "хищное животное" → "волк", "переместиться в среду обитания" → "убежать в лес". Получается известная поговорка:
   Ответ: «Работа не волк, в лес не убежит».
   
   
2. Коробка и 100 лежащих в ней одинаковых алюминиевых шариков весят 510 граммов. Такая же коробка и 100 одинаковых пластмассовых шариков, лежащих в ней, весят 490 граммов. Сколько весит коробка и лежащие в ней 20 алюминиевых и 80 пластмассовых шариков?
   Решение: Обозначим: вес коробки — $C$, алюминиевого шарика — $A$, пластмассового — $P$.
   Уравнения по условию: \[ \begin{aligned} C + 100A &= 510,\\ C + 100P &= 490. \end{aligned} \] Вычитаем второе из первого: \[ 100A - 100P = 20 \;\Rightarrow\; A - P = 0{,}2. \] Суммарный вес искомого набора: \[ \begin{aligned} C + 20A + 80P &= (C + 100P) + 20A - 20P \\ &= 490 + 20(A - P) \\ &= 490 + 20 \cdot 0{,}2 = 494\ \text{грамма}. \end{aligned} \] Ответ: 494 грамма.
   
   
3. Прямоугольник $7\times14$ разбит линиями на единичные квадратики. Сколько всего треугольников образуется после проведения одной из диагоналей прямоугольника?
   Решение: Всего квадратов: \[ 7 \cdot 14 = 98. \] Каждый квадрат диагональ делит на 2 треугольника, значит: \[ 98 \cdot 2 = 196. \] Ответ: 196.
   
   
4. Найдите все натуральные числа такие, что если к ним прибавить их наименьший натуральный делитель, отличный от 1, то получится 42.
   Решение: Пусть число $N$, его наименьший делитель (кроме 1) — $d$. Тогда \[ N + d = 42 \;\Rightarrow\; N = 42 - d. \] Проверим возможные простые $d$:
   • $d = 2$: $N = 40$. Наименьший делитель 40 — 2. Подходит.
   • $d = 3$: $N = 39 = 3 \cdot 13$. Наименьший делитель — 3. Подходит.
   • $d = 7$: $N = 35 = 5 \cdot 7$. Наименьший делитель — 5. Не подходит.
   Остальные делители либо не удовлетворяют условию, либо не являются простыми.
   Ответ: 39 и 40.