Лицей №146 из 6 в 7 класс 2020 год вариант 2

1. Найдите значение выражения \[ (-3{,}3)^2 : 1{,}5^3 : \bigl(8{,}7 - 10\tfrac{1}{6}\bigr). \]
   
   
2. Для облицовки стены дома на даче нужны доски длиной 70 см в количестве 146 штук. В магазине продаются доски длиной 3 м. Сколько досок надо купить, чтобы облицовать стену?
   
   
3. Какова последняя цифра числа \[ 7^3 \cdot 11^4 \cdot 13^4 \cdot 19^6 \cdot 3^4? \]
   
   
4. Периметр большого квадрата на рисунке равен 96 см. Найдите периметр меньшего квадрата (в см).
   
   
   
   
5. Суммарный возраст всех членов семьи составляет 92 года. Через 5 лет он будет равен 117 годам. Из скольких человек состоит семья?
   
   
6. Катя и Костя берут по очереди карточки с числами 41, 2, 309, 5, 7 и 68 и выкладывают их слева направо. Катя хочет получить наибольшее число, Костя — наименьшее. Первую карточку выкладывает Катя. В результате получается десятизначное число. В ответ запишите цифру из разряда сотен тысяч этого числа.
   
   
7. В стрелковой секции занимаются 28 человек, некоторым из них всегда врут, а остальные говорят правду. Каждый стрелок попадал в шарик либо первым, либо вторым, либо третьим, либо четвёртым выстрелом. После соревнований каждому задали по четыре вопроса: «Тебе понадобился один выстрел?», «Тебе понадобился два выстрела?», «Тебе понадобился три выстрела?», «Тебе понадобился четыре выстрела?». На каждый вопрос было получено по 8 утвердительных ответов. Сколько лжецов в секции?
   
   
8. Записав 6 различных натуральных чисел, среди которых нет 1, и перемножив их, Валера получил 375375. Найдите сумму этих чисел.
   
   
9. Царство имеет форму квадрата со стороной 120 км. Царь разделил его на три прямоугольные части равной площади и отдал их царевичам так, чтобы каждая часть имела общие границы с двумя другими. Какова общая длина внутренних границ новых государств (в км)?
   
   
10. Сколько существует дробей с числителем 146 и натуральным знаменателем, больших $\tfrac{1}{147}$ и меньших $\tfrac{1}{146}$?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ (-3{,}3)^2 : 1{,}5^3 : \bigl(8{,}7 - 10\tfrac{1}{6}\bigr). \]
   Решение: Введём обозначения: \[ (-3{,}3)^2 = 10{,}89; \quad 1{,}5^3 = 3{,}375; \quad 10\tfrac{1}{6} \approx 10{,}1667. \] \[ 8{,}7 - 10\tfrac{1}{6} = 8{,}7 - 10{,}1667 = -1{,}4667. \] Посчитаем последовательно: \[ 10{,}89 : 3{,}375 = \frac{1089}{100} : \frac{27}{8} = \frac{1089 \cdot 8}{100 \cdot 27} = \frac{242}{25}. \] \[ \frac{242}{25} : (-1{,}4667) = \frac{242}{25} \cdot \frac{-15}{22} = -\frac{242 \cdot 15}{25 \cdot 22} = -\frac{11}{5} = -2{,}2. \] Ответ: \(\boxed{-\dfrac{11}{5}}\).
   
   
2. Для облицовки стены дома на даче нужны доски длиной 70 см в количестве 146 штук. В магазине продаются доски длиной 3 м. Сколько досок надо купить, чтобы облицовать стену?
   Решение: Каждую 3-метровую доску можно разрезать на 4 части по 70 см (остаток 20 см). Для получения 146 частей: \[ 146 : 4 = 36{,}5 \approx 37 \text{ досок}. \] Ответ: \(\boxed{37}\).
   
   
3. Какова последняя цифра числа \[ 7^3 \cdot 11^4 \cdot 13^4 \cdot 19^6 \cdot 3^4? \]
   Решение: Посчитаем последние цифры каждого множителя: \[ 7^3 \rightarrow 3; \quad 11^4 \rightarrow 1; \quad 13^4 \rightarrow 1; \quad 19^6 \rightarrow 1; \quad 3^4 \rightarrow 1. \] Перемножая последние цифры: \(3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 3\). Ответ: \(\boxed{3}\).
   
   
4. Периметр большого квадрата равен 96 см. Сторона большого квадрата: \[ \frac{96}{4} = 24 \text{ см}. \] Меньший квадрат внутри имеет сторону вдвое меньше: 12 см. Периметр: \[ 12 \cdot 4 = 48 \text{ см}. \] Ответ: \(\boxed{48}\).
   
   
5. Суммарный возраст семьи сейчас — 92 года. Через 5 лет суммарный возраст составит 117 лет. \[ 117 - 92 = 25 \text{ лет (общее увеличение)}. \] Количество членов семьи: \[ \frac{25}{5} = 5. \] Ответ: \(\boxed{5}\).
   
   
6. При оптимальном выборе чисел Катей и Костей получается число 7268309541. Цифра в разряде сотен тысяч (6-я с начала): \(\boxed{0}\).
   
   
7. Всего в секции 28 человек. Используя данные о распределении ответов, количество лжецов: \[ \sum T_m = 32, \quad 28 + 2L = 32 \Rightarrow L = 2. \] Ответ: \(\boxed{2}\).
   
   
8. Разложим 375375 на простые множители: \[ 375375 = 5^3 \times 3 \times 7 \times 11 \times 13. \] Составляем 6 различных чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 25. Сумма: \[ 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 25 = 64. \] Ответ: \(\boxed{64}\).
   
   
9. Разделим квадрат на три равных вертикальных полосы: \[ \text{Внутренние границы: } 2 \times 120 = 240 \text{ км}. \] Ответ: \(\boxed{240}\).
   
   
10. Знаменатель \(b\) удовлетворяет условию: \[ 21316 < b < 21462 \Rightarrow 21461 - 21316 + 1 = 145. \] Ответ: \(\boxed{145}\).