Лицей №146 из 6 в 7 класс 2020 год вариант 1

1. Найдите значение выражения \[ \frac{\tfrac{2}{9}\cdot1{,}4 - 0{,}1 : 0{,}025}{3{,}65 - 2{,}75 : 2\tfrac{1}{3}}. \]
2. Для забора нужны доски длиной 75 см в количестве 112 штук. В магазине продаются доски длиной 4 м. Сколько досок надо купить, чтобы построить забор?
3. Какова последняя цифра числа \[ 9^2 \cdot 11^5 \cdot 13^2 \cdot 17^1 \cdot 19^2 \cdot 21^1? \]
4. Площадь меньшего прямоугольника на рис. равна 48 см$^2$. Найдите площадь большего прямоугольника (в см$^2$).
   
   
5. Возраст нескольких друзей составляет в сумме 62 года. Через 3 года он будет составлять 80 лет. Сколько этих друзей?
6. Антон и Анна берут карточки с числами 51, 2, 930, 4, 6 и 78 и по очереди выкладывают их слева направо. Анна хочет получить наименьшее, Антон — наибольшее число. Первую карточку выкладывает Анна. В результате получается десятизначное число. В ответ запишите цифру из разряда десятков тысяч этого числа.
7. В классе 32 ученика, причём некоторые из них всегда врут, а остальные всегда говорят правду. Каждый из учеников получил на контрольной работе либо 3, либо 4, либо 5. Всем ученикам после объявления результатов задали по 3 вопроса: «Получил ли ты 3?», «Получил ли ты 4?», «Получил ли ты 5?». На первый вопрос утвердительно ответили 12 человек, на второй — 14 человек, на третий — 10 человек. Сколько лжецов в классе?
8. Записав 6 различных натуральных чисел, среди которых нет 1, и перемножив их, Юра получил в результате 135135. Найдите сумму чисел, которые перемножил Юра.
9. Три наследника разделили квадратный участок со стороной 60 м на три прямоугольных участка равной площади. При этом каждые два наследника стали соседями. Какова общая длина забора, построенного вокруг и внутри участка для отделения частей?
   
   
10. Сколько есть дробей с числителем 2019 и натуральным знаменателем, больших $\tfrac{1}{2020}$ и меньших $\tfrac{1}{2019}$?

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{\tfrac{2}{9}\cdot1{,}4 - 0{,}1 : 0{,}025}{3{,}65 - 2{,}75 : 2\tfrac{1}{3}}. \] Решение: Числитель: \[\frac{2}{9} \cdot 1{,}4 = \frac{2 \cdot 14}{9 \cdot 10} = \frac{28}{90} = \frac{14}{45}\] \[0{,}1 : 0{,}025 = \frac{1}{10} \cdot \frac{1000}{25} = 4\] \[\frac{14}{45} - 4 = \frac{14 - 180}{45} = -\frac{166}{45}\] Знаменатель: \[2\tfrac{1}{3} = \frac{7}{3}\] \[2{,}75 : \frac{7}{3} = \frac{11}{4} \cdot \frac{3}{7} = \frac{33}{28}\] \[3{,}65 - \frac{33}{28} = \frac{73}{20} - \frac{33}{28} = \frac{73 \cdot 28 - 33 \cdot 20}{560} = \frac{1384}{560} = \frac{346}{140} = \frac{173}{70}\] Итоговое значение: \[\frac{-\frac{166}{45}}{\frac{173}{70}} = -\frac{166 \cdot 70}{45 \cdot 173} = -\frac{11620}{7785} \approx -1{,}492\] Ответ: $-1{,}492$.
   
   
2. Для забора нужны доски длиной 75 см в количестве 112 штук. В магазине продаются доски длиной 4 м. Сколько досок надо купить, чтобы построить забор?
   Решение: Общая длина досок: \[112 \cdot 75~\text{см} = 8400~\text{см} = 84~\text{м}\] Количество досок длиной 4 м: \[\frac{84}{4} = 21\] Ответ: 21.
   
   
3. Какова последняя цифра числа \[ 9^2 \cdot 11^5 \cdot 13^2 \cdot 17^1 \cdot 19^2 \cdot 21^1? \] Решение: Последние цифры множителей: \[9^2 \rightarrow 1,\quad 11^5 \rightarrow 1,\quad 13^2 \rightarrow 9,\quad 17^1 \rightarrow 7,\quad 19^2 \rightarrow 1,\quad 21^1 \rightarrow 1\] Умножаем последние цифры: \[1 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 1 = 63\] Последняя цифра: $3$. Ответ: 3.
   
   
4. Площадь меньшего прямоугольника равна 48 см². Найдите площадь большего прямоугольника.
   Решение: Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Если коэффициент подобия $\frac{3}{2}$, то площадь большего прямоугольника: \[48 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^2 = 48 \cdot \frac{25}{9} = 133{,}33~\text{см}²\] Ответ: $133{,}33$ см².
   
   
5. Возраст нескольких друзей составляет в сумме 62 года. Через 3 года сумма будет 80 лет. Сколько друзей?
   Решение: Разница в возрасте: \[80 - 62 = 18\] Количество друзей: \[\frac{18}{3} = 6\] Ответ: 6.
   
   
6. Антон и Анна составляют число из карточек. Ответ: цифра в разряде десятков тысяч—0. Ответ: 0.
   
   
7. В классе 32 ученика. Лжецов — 8. Ответ: 8.
   
   
8. Сумма чисел: 5,7,9,11,13,3. Итого: 48. Ответ: 48.
   
   
9. Общая длина забора: внешний периметр 240 м, внутренние перегородки 60 м каждая. Итого: 240 + 60 + 60 = 360 м. Ответ: 360 м.
   
   
10. Количество дробей: \[2019 \cdot 2020 - 2019 \cdot 2019 - 1 = 2019 \cdot (2020 - 2019) - 1 = 2018\] Ответ: 2018.