Лицей №146 из 6 в 7 класс 2019 год вариант 1

1. Найдите $4{,}2\%$ от \[ \frac{4\frac{4}{7} - \frac{2}{3}\cdot 2\frac{5}{14}} {\bigl(3\frac{1}{12} + 4{,}375\bigr) : 19\frac{8}{9}}. \]
   
   
2. Жук полз по координатной прямой от точки $A(80)$ до точки $B(35)$. В какой точке он прошёл треть пути?
   
   
3. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на числа $1\frac{5}{13}$, $1\frac{7}{9}$ и $2\frac{2}{5}$ получаются натуральные числа.
   
   
4. Стены комнаты с высотой потолков $2{,}5$ м, шириной $3$ м и длиной $4$ м, одной дверью размерами $1\times2$ м и окном $1\times1{,}5$ м решили оклеить новыми обоями без рисунка. Ширина рулона $0{,}5$ м, длина $10$ м. Какое наименьшее количество рулонов нужно купить для ремонта этой комнаты?
   
   
5. В какую степень нужно возвести число $4^4$, чтобы получить $8^8$?
   
   
6. Длина ломаной $ABCD$ равна периметру треугольника $ABC$. Сумма длин отрезков $AC$ и $CD$ равна $56$ см, а сумма $AB$ и $CD$ равна $62$ см. Отрезок $BC$ меньше $AC$ на $8$ см. Найдите длину ломаной $ABCD$.
   
   
7. Пятизначное число $24x8y$ делится на $4$, $5$ и $9$. Чему равна сумма цифр $x$ и $y$?
   
   
8. Среднее арифметическое десяти чисел равно $12$. Среднее арифметическое четырёх из них равно $15$. Найдите среднее арифметическое оставшихся шести чисел.
   
   
9. Квадрат со стороной $5$ см разрезали на два прямоугольника. Периметр одного из них равен $16$ см. Найдите периметр второго прямоугольника.
   
   
10. Если половину пути от дома до школы Вася идёт, а половину бежит, он тратит на дорогу $20$ минут. Если он весь путь бежит, то тратит $10$ минут. Сколько минут Вася идёт от дома до школы?

Решения задач

1. Найдём значение выражения: \[ \frac{4\frac{4}{7} - \frac{2}{3}\cdot 2\frac{5}{14}}{\left(3\frac{1}{12} + 4{,}375\right) : 19\frac{8}{9}} = \frac{\frac{32}{7} - \frac{2}{3} \cdot \frac{33}{14}}{\left(\frac{37}{12} + \frac{35}{8}\right) : \frac{179}{9}} = \frac{3}{\frac{3}{8}} = 8. \] 4,2% от 8 равно $0{,}042 \cdot 8 = 0{,}336$. Ответ: $\boxed{0,336}$.
   
   
2. Расстояние между точками: $80 - 35 = 45$ см. Треть пути: $45 : 3 = 15$ см. Точка находится в $80 - 15 = 65$. Ответ: $\boxed{65}$.
   
   
3. Переведём дроби: $1\frac{5}{13} = \frac{18}{13}$, $1\frac{7}{9} = \frac{16}{9}$, $2\frac{2}{5} = \frac{12}{5}$. НОК знаменателей: $13 \cdot 9 \cdot 5 = 585$. Наименьшее натуральное число кратно НОК числителей и знаменателей: $\text{НОК}(18, 16, 12) = 144$. Ответ: $\boxed{144}.$
   
   
4. Площадь стен: $2 \cdot (3 + 4) \cdot 2{,}5 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1{,}5 = 31{,}5$ м². Площадь рулона: $0{,}5 \cdot 10 = 5$ м². Минимальное количество рулонов: $\lceil \frac{31{,}5}{5} \rceil = 7$. Ответ: $\boxed{7}.$
   
   
5. $4^4 = 2^8$, $8^8 = 2^{24}$. Значит, $2^{8 \cdot x} = 2^{24} \Rightarrow x = 3$. Ответ: $\boxed{3}$.
   
   
6. Периметр треугольника $ABC$ равен длине ломаной $ABCD$. Из условий: \[ \begin{cases} AC + CD = 56, \\ AB + CD = 62, \\ BC = AC - 8. \end{cases} \] Решая, находим $AC = 28$ см, $CD = 28$ см, $AB = 34$ см, $BC = 20$ см. Длина ломаной: $34 + 20 + 28 = 82$ см. Ответ: $\boxed{82}.$
   
   
7. Число $24x8y$ делится на 4, 5, 9. При $y=0$ сумма цифр: $2+4+x+8+0 = 14 + x$ должна делиться на 9. Отсюда $x=4$. Сумма $x+y=4+0=4$. Ответ: $\boxed{4}$.
   
   
8. Сумма всех чисел: $10 \cdot 12 = 120$. Сумма первых четырёх: $4 \cdot 15 = 60$. Среднее остальных: $\frac{120 - 60}{6} = 10$. Ответ: $\boxed{10}$.
   
   
9. При разрезании квадрата периметр одного прямоугольника $16$ см. Второй прямоугольник имеет периметр $20 + 2 \cdot 5 - 16 = 14$ см. Ответ: $\boxed{14}$.
   
   
10. Пусть расстояние $S$. Время бега: $\frac{S}{u} = 10 \Rightarrow u = \frac{S}{10}$. Суммарное время при комбинированном движении: \[ \frac{S}{2v} + \frac{S}{2 \cdot \frac{S}{10}} = 20 \Rightarrow \frac{S}{2v} = 15 \Rightarrow S/v = 30. \] Ответ: $\boxed{30}$.