Лицей №146 из 6 в 7 класс 2016 год вариант 2

1. Сравните значения выражений: \[ \Bigl(5\frac{1}{3} - \bigl(-2\frac{1}{3}\bigr)^{2}\Bigr)\cdot0{,}75 \quad\text{и}\quad -\frac{1{,}8\cdot1{,}2}{2{,}7\cdot4{,}8}. \]
   
   
2. Агрофирма, имеющая 20 комбайнов одинаковой мощности, планировала убрать урожай за 8 дней. Сколько дней понадобится дополнительно для уборки урожая, если 4 из этих комбайнов оказались неисправными?
   
   
3. Имеется 300 граммов 54% раствора кислоты. Сколько граммов воды надо добавить к этому раствору, чтобы получить 17% раствор кислоты?
   
   
4. Вася живёт в первом подъезде многоквартирного дома в квартире № 42. Он заметил, что номер его квартиры в семь раз больше суммы его цифр. Два его одноклассника, живущие в этом же подъезде, утверждают, что номера их квартир обладают этим же свойством. Правы ли они, если известно, что в этом подъезде 70 квартир?
   
   
5. У Маши сестёр вдвое больше, чем братьев. У Олега сестёр в два раза больше, чем у Маши. У родителей Маши детей столько, сколько сестёр у Олега. Сколько детей в семье Маши?
   
   
6. Дана точка \(A(-4)\). Найдите координаты точек \(B\) и \(C\), таких, что \(BC = 9\), \(AB = 4\,AC\). Сколько решений имеет задача?

Решения задач

1. Сравните значения выражений: \[ \Bigl(5\frac{1}{3} - \bigl(-2\frac{1}{3}\bigr)^{2}\Bigr)\cdot0{,}75 \quad\text{и}\quad -\frac{1{,}8\cdot1{,}2}{2{,}7\cdot4{,}8}. \]
   Решение: \[ \left(5\frac{1}{3} - \left(-2\frac{1}{3}\right)^2\right) \cdot 0{,}75 = \left(\frac{16}{3} - \frac{49}{9}\right) \cdot \frac{3}{4} = -\frac{1}{12}, \] \[ -\frac{1{,}8 \cdot 1{,}2}{2{,}7 \cdot 4{,}8} = -\frac{2{,}16}{12{,}96} = -\frac{1}{6}. \] Сравнение: \(-\frac{1}{12} > -\frac{1}{6}\).
   Ответ: Первое выражение больше.
2. Агрофирма, имеющая 20 комбайнов, планировала убрать урожай за 8 дней. Сколько дней понадобится дополнительно, если 4 комбайна неисправны?
   Решение:
   Объем работы: \(20 \cdot 8 = 160\) комбайно-дней.
   Осталось комбайнов: \(20 - 4 = 16\).
   Новое время: \(\frac{160}{16} = 10\) дней.
   Добавочное время: \(10 - 8 = 2\) дня.
   Ответ: 2 дня.
3. Сколько граммов воды добавить к 300 г 54% раствора кислоты, чтобы получить 17% раствор?
   Решение:
   Масса кислоты: \(300 \cdot 0{,}54 = 162\) г.
   Пусть \(x\) — масса воды. Тогда: \[ \frac{162}{300 + x} = 0{,}17 \implies 162 = 51 + 0{,}17x \implies x = \frac{111}{0{,}17} \approx 652{,}94 г. \]
   Ответ: примерно 652,94 г.
4. Проверить, существуют ли другие квартиры с номером в 7 раз больше суммы цифр в подъезде с 70 квартирами.
   Решение:
   Номера квартир 21 (\(7 \cdot (2+1)\)), 42 (\(7 \cdot (4+2)\)), 63 (\(7 \cdot (6+3)\)) подходят.
   В подъезде до 70 квартир, значит 63 допустимо.
   Ответ: Да, одноклассники правы (21 и 63).
5. Сколько детей в семье Маши?
   Решение:
   У Маши братьев \(x\), сестёр \(2x\). Всего детей: \(x + 2x + 1 = 3x + 1\).
   У Олега сестёр \(4x\). По условию \(4x = 3x + 1 \implies x = 1\).
   Всего детей: \(3 \cdot 1 + 1 = 4\).
   Ответ: 4 ребёнка.
6. Найдите координаты точек \(B\) и \(C\), если \(BC = 9\), \(AB = 4AC\), точка \(A(-4)\). Сколько решений?
   Решение:
   Пусть \(C = c\). Тогда \(B\) может быть \(c + 9\) или \(c - 9\).
   Для \(B = c + 9\): \( |c + 13| = 4|c + 4| \implies c = -5\) или \(c = -1\).
   Для \(B = c - 9\): \( |c - 5| = 4|c + 4| \implies c = -\frac{25}{3}\) или \(c = -\frac{17}{3}\).
   Ответ: Четыре решения: \(B(-3, 3, -\frac{34}{3}, -\frac{26}{3})\), \(C(-5, -1, -\frac{25}{3}, -\frac{17}{3})\).