Лицей №146 из 6 в 7 класс 2016 год вариант 1

1. Сравните значения выражений: \[ \Bigl(2\frac{1}{3} - \bigl(-1\frac{2}{3}\bigr)^{2}\Bigr)\cdot0{,}75 \quad\text{и}\quad -\frac{0{,}8\cdot3{,}8}{2{,}4\cdot1{,}9}. \]
2. Воду из котлована планировали откачать за 50 дней с помощью 60 насосов одинаковой мощности. Сколько насосов такой же мощности необходимо привлечь дополнительно, чтобы закончить работу на 20 дней раньше?
   
   
3. Имеется 200 г 63% раствора кислоты. Сколько граммов воды нужно добавить к этому раствору, чтобы получить 18% раствор кислоты?
   
   
4. Ваня живёт в первом подъезде многоквартирного дома в квартире № 24. Он заметил, что номер его квартиры в четыре раза больше суммы его цифр. Два его одноклассника, живущие в этом же подъезде, утверждают, что номера их квартир обладают этим же свойством. Правы ли они, если известно, что в этом подъезде 40 квартир?
   
   
5. У Максима братьев и сестёр поровну. У Ани сестёр втрое больше, чем у Максима. У родителей Максима детей столько, сколько сестёр у Ани. Сколько детей в семье Максима?
   
   
6. Дана точка $A(-1)$. Найдите координаты точек $B$ и $C$, таких, что $BC=8$, $AB=3\,AC$. Сколько решений имеет задача?

Решения задач

1. Сравните значения выражений: \[ \Bigl(2\frac{1}{3} - \bigl(-1\frac{2}{3}\bigr)^{2}\Bigr)\cdot0{,}75 \quad\text{и}\quad -\frac{0{,}8\cdot3{,}8}{2{,}4\cdot1{,}9}. \] Решение: \begin{align} \Bigl(2\frac{1}{3} - \bigl(-1\frac{2}{3}\bigr)^{2}\Bigr)\cdot0{,}75 &= \Bigl(\frac{7}{3} - \bigl(-\frac{5}{3}\bigr)^2\Bigr) \cdot \frac{3}{4} \\ &= \Bigl(\frac{7}{3} - \frac{25}{9}\Bigr) \cdot \frac{3}{4} = \Bigl(-\frac{4}{9}\Bigr) \cdot \frac{3}{4} = -\frac{1}{3} \approx -0{,}33 \end{align} \begin{align} -\frac{0{,}8\cdot3{,}8}{2{,}4\cdot1{,}9} &= -\frac{3{,}04}{4{,}56} = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67 \end{align} Так как \(-0{,}33 > -0{,}67\), первое выражение больше.
   Ответ: первое выражение больше.
   
   
2. Воду из котлована планировали откачать за 50 дней с помощью 60 насосов. Сколько насосов необходимо дополнительно, чтобы закончить работу на 20 дней раньше?
   Решение: Объем работы: \(60 \cdot 50 = 3000\) насосо-дней. Новая продолжительность: \(50 - 20 = 30\) дней. Требуется насосов: \(\frac{3000}{30} = 100\). Дополнительно нужно: \(100 - 60 = 40\) насосов.
   Ответ: 40.
   
   
3. Сколько граммов воды добавить к 200 г 63% раствора кислоты, чтобы получить 18% раствор?
   Решение: Масса кислоты: \(200 \cdot 0{,}63 = 126\) г. Пусть добавили \(x\) г воды. Тогда: \[ \frac{126}{200 + x} = 0{,}18 \Rightarrow 200 + x = \frac{126}{0{,}18} = 700 \Rightarrow x = 500 \]
   Ответ: 500 г.
   
   
4. Проверить, существуют ли квартиры с указанным свойством в подъезде:
   Решение: Проверим номера квартир:
   • Для 24: \(24 = 4 \cdot (2 + 4) = 24\) — верно
   • Для 12: \(12 = 4 \cdot (1 + 2) = 12\) — верно
   • Для 36: \(36 = 4 \cdot (3 + 6) = 36\) — верно
   Так как в подъезде есть квартиры №12 и №36, одноклассники правы.
   Ответ: да, правы.
   
   
5. Сколько детей в семье Максима?
   Решение: Пусть у Максима \(x\) братьев и \(x\) сестёр. Тогда всего детей: \(2x + 1\). У Ани сестёр: \(3x\). Так как родителей Максима детей столько, сколько сестёр у Ани: \[ 2x + 1 = 3x \Rightarrow x = 1 \] Всего детей: \(2 \cdot 1 + 1 = 3\).
   Ответ: 3.
   
   
6. Найти координаты точек \(B\) и \(C\) при условиях \(BC=8\), \(AB=3AC\), \(A(-1)\).
   Решение: Пусть координаты:
   1. Если \(B\) правее \(C\): \(AB = 3AC\), \(BC = 8\). Пусть \(AC = t\), тогда \(AB = 3t\). Координаты: \[ C = -1 + t, \quad B = -1 + 4t \] Расстояние \(BC = 4t - t = 3t = 8 \Rightarrow t = \frac{8}{3}\). Тогда: \(C = -1 + \frac{8}{3} = \frac{5}{3}\), \(B = \frac{5}{3} + 8 = \frac{29}{3}\).
   2. Если \(C\) правее \(B\): \(AC = t\), \(AB = 3t\). Расстояние \(BC = 8\): \[ 3t + t = 8 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow C = -1 + 2 = 1, \quad B = -1 - 3 \cdot 2 = -7 \]
   3. Аналогичные рассуждения для других комбинаций дают решения: \(\left(\frac{29}{3}, \frac{5}{3}\right)\), \((-7, 1)\),