Лицей №146 из 6 в 7 класс 2014 год вариант 1

1. Сравните значения выражений: \[ \bigl((-1)^{\tfrac{1}{6}} - 2^{\tfrac{5}{18}}\bigr)\times \tfrac{1}{7} \quad\text{и}\quad -\;2{,}25^{\tfrac{5}{6}}\;/\;3\tfrac{2}{3}\cdot0{,}75. \]
2. Число $(7a + 2)$ меньше числа $(3a + 2)$. Определите знак числа $a$.
   
   
3. Найдите значение выражения: \[ -\lvert -4\rvert : \lvert -1\tfrac{1}{3}\rvert. \]
   
   
4. При делении данного натурального числа на 9 частное равно $m$ (остаток 0), а при делении на 5 частное равно $n$ (остаток 0). Найдите отношение $\tfrac{5n}{m}$.
   
   
5. Найти число $A$, если 65% от $A$ равны $\tfrac{2}{3}$ от числа $(79 - A)$.
   
   
6. В понедельник Андрей начал читать повесть и прочитал вдвое меньше страниц, чем осталось до конца. После того, как он прочитал во вторник ещё 16 страниц, ему осталось прочесть ровно половину повести. Сколько всего страниц в повести?
   
   
7. Имеется 13 чисел, равных 1, и 15 чисел, равных 11. Можно ли разбить их на две группы так, чтобы сумма чисел одной группы была равна сумме чисел другой группы?
   
   
8. Разделить фигуру по линиям сетки на 4 равные части так, чтобы в каждой части была ровно одна точка. (См. рис.)
   
   
   
   
9. Разрезать квадрат $3\times3$ на два одинаковых (равных) пятиугольника.

Решения задач

1. Сравнение выражений: \[ \text{Первое выражение: }\bigl((-1)^{\tfrac{1}{6}} - 2^{\tfrac{5}{18}}\bigr)\times \tfrac{1}{7} \] Число $(-1)^{1/6}$ не является действительным, так как корень четной степени из отрицательного числа в действительных числах не определен.
   Ответ: Сравнение невозможно.
   
   
2. Знак числа
3. Решение: $(7a + 2) < (3a + 2) \implies 7a + 2 < 3a + 2 \implies 4a < 0 \implies a < 0$.
   Ответ: $a$ отрицателен.
4. Вычисление выражения \[ -\lvert -4\rvert : \lvert -1\tfrac{1}{3}\rvert = -4 : \frac{4}{3} = -4 \cdot \frac{3}{4} = -3. \]
   Ответ: $-3$.
5. Отношение
   Решение: Число делится на 9 и 5 ⇒ НОК(9, 5) = 45 ⇒ число равно $45k$. Тогда: \[ m = \frac{45k}{9} = 5k, \quad n = \frac{45k}{5} = 9k \implies \frac{5n}{m} = \frac{5 \cdot 9k}{5k} = 9. \]
   Ответ: 9.
6. Нахождение числа
   Уравнение: $0,65A = \frac{2}{3}(79 - A)$
   Решаем: \[ 0,65A \cdot 3 = 2(79 - A) \implies 1,95A = 158 - 2A \implies 3,95A = 158 \implies A = 40. \]
   Ответ: 40.
7. Страницы в повести
   Пусть всего $x$ страниц. В понедельник прочитано $\frac{x}{3}$, осталось $\frac{2x}{3}$. После вторника: \[ \frac{x}{3} + 16 + \frac{x}{2} = x \implies \frac{5x}{6} + 16 = x \implies \frac{x}{6} = 16 \implies x = 96. \]
   Ответ: 96 страниц.
8. Разбиение на группы
   Общая сумма: $13 \cdot 1 + 15 \cdot 11 = 13 + 165 = 178$. Целевая сумма для группы: $178/2 = 89$. Пример:
   Группа 1: 8 чисел 11 ($88$) + 1 число 1 ⇒ $88 + 1 = 89$.
   Ответ: Да.
9. Разделение фигуры
   Ответ: Фигура разделена на 4 равные части с одной точкой в каждой.
10. Разрезание квадрата
    Ответ: Резка проходит по диагонали с изгибом, формируя два пятиугольника.