Лицей №146 из 6 в 7 класс 2013 год вариант 1

1. (2 балла) Вычислите: \[ \biggl(-3\frac{11}{15}\;\big/ \;\bigl(-\tfrac{14}{15}\bigr)\biggr) + \bigl(-1\frac{4}{5}\bigr)\cdot\tfrac12 \;:\;(0{,}8). \]
   
   
2. (2 балла) Лёша на 20% умнее Вадика, а Костя на 10% умнее Лёши. На сколько процентов Костя умнее Вадика?
   
   
3. (2 балла) За доллар дают 30 рублей, за евро — 40 рублей. Сколько евро дают за доллар?
   
   
4. (2 балла) Жук ползёт по координатной прямой от точки $(25)$ до точки $(80)$. В какой точке он прошёл $\tfrac15$ пути?
   
   
5. (4 балла) Из карточек с цифрами $1,2,4,5,6,8,9$ составьте наибольшее возможное число при условии, что две чётные цифры не стоят рядом. Обязательно обоснуйте, что полученное число — максимальное.
   
   
6. (5 баллов) Бригада из 6 землекопов в течение 8 часов копала канаву. При этом в каждый момент времени работало ровно двое, а остальные играли в шашки. В конце рабочего дня оказалось, что первый землекоп играл 3 часа, второй — 4 часа, третий — 5 часов, четвёртый — 6 часов, пятый — 7 часов. Сколько часов играл шестой землекоп?
   
   
7. (8 баллов) Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел: \[ -11,\;12,\;13,\;-14,\;15,\;17,\;-18,\;19. \] Затем карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел: \[ -11,\;12,\;13,\;-14,\;15,\;17,\;-18,\;19. \] После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
   1. (2 балла) Может ли в результате получиться 0?
   2. (2 балла) Может ли в результате получиться 117?
   3. (4 балла) Какое наименьшее неотрицательное целое число может при этом получиться?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \biggl(-3\frac{11}{15}\;\big/ \;\bigl(-\tfrac{14}{15}\bigr)\biggr) + \bigl(-1\frac{4}{5}\bigr)\cdot\tfrac12 \;:\;(0{,}8). \] Решение: \[ -3\frac{11}{15} = -\frac{56}{15}, \quad -\frac{56}{15} \div \left(-\frac{14}{15}\right) = \frac{56}{14} = 4. \] \[ -1\frac{4}{5} = -\frac{9}{5}, \quad -\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{9}{10}. \] \[ -\frac{9}{10} \div 0{,}8 = -\frac{9}{10} \cdot \frac{5}{4} = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8}. \] \[ 4 + \left(-1\frac{1}{8}\right) = 2\frac{7}{8} = \frac{23}{8}. \] Ответ: $\frac{23}{8}$.
   
   
2. Лёша на $20\%$ умнее Вадика, а Костя на $10\%$ умнее Лёши. На сколько процентов Костя умнее Вадика? Решение: \[ \text{Лёша} = 120% \text{ Вадика}, \quad \text{Костя} = 110% \cdot 120% = 132% \text{ Вадика}. \] Ответ: на $32\%$.
   
   
3. За доллар дают $30$ рублей, за евро — $40$ рублей. Сколько евро дают за доллар? Решение: \[ \frac{30}{40} = 0{,}75. \] Ответ: $0{,}75$ евро.
   
   
4. Жук прошёл $\tfrac{1}{5}$ пути от $25$ до $80$: \[ \text{Общий путь} = 80 - 25 = 55, \quad \tfrac{1}{5} \cdot 55 = 11, \quad 25 + 11 = 36. \] Ответ: $36$.
   
   
5. Наибольшее число без двух чётных цифр подряд:
   Решение:
   Четные цифры: $2,4,6,8$, нечётные: $1,5,9$.
   Максимальное число: $9$ (нечёт), $8$ (чёт), $5$ (нечёт), $6$ (чёт), $1$ (нечёт), $4$ (чёт), $2$ (чёт). Между чётными цифрами отсутствуют две подряд.
   Ответ: $9856142$.
6. Время игры шестого землекопа:
   Решение:
   Суммарное время работы: $8 \cdot 2 = 16$ ч.
   Общее время всех землекопов: $6 \cdot 8 = 48$ ч.
   Суммарное время игр: $48 - 16 = 32$ ч.
   Время игры шестого: $32 - (3+4+5+6+7) = 7$ ч.
   Ответ: $7$ часов.
   
   
7. 1. Может ли получиться $0$? Да, если хотя бы одна карточка имеет $a + (-a) = 0$, например, $-11$ и $11$ (но $11$ отсутствует в списке карточек). Ответ: да, если на карточку с $-18$ добавить $18$. Но список чисел не содержит $18$. Ошибка в рассуждении. Верный вывод: нет.
      Ответ: Нет.
   2. Может ли получиться $117$? Поскольку $117 = 3 \cdot 3 \cdot 13$, суммы на карточках: $3, 3, 13$ и остальные $1$. Однако такие комбинации маловероятны.
      Ответ: Нет.
   3. Наименьшее неотрицательное целое: Возможно произведение минимальных неотрицательных сумм. Если суммы равны $1$, но такие комбинации маловероятны.
      Ответ: $0$ (если возможно, как в пункте а, но ошибка). Исправленный ответ: $1$.