Лицей №146 из 6 в 7 класс 2012 год вариант 1

Диагностическая работа по математике для 7 класса, 2012 год. Вариант 1

1. Вычислите: \begin{align} &\text{а)}\quad \frac{6 \cdot 1{,}46 \cdot 2{,}5}{7{,}5 \cdot 0{,}02} ; \\ &\text{б)}\quad \bigl(5\tfrac{1}{3} - 3\tfrac{5}{6}\bigr) \;\bigm/\;\bigl( \tfrac{2}{5}\cdot 3\tfrac{3}{4} + 3\tfrac{1}{6}\bigr) \,. \end{align}
   
   
2. Укажите хотя бы одно число, которое больше $\tfrac{9}{11}$, но меньше $\tfrac{10}{11}$.
   
   
3. В поход идут 10 мальчиков и 8 девочек. Общий вес их рюкзаков составляет 200 кг. Рюкзак мальчика на 2 кг тяжелее рюкзака девочки; мальчики носят одинаковые по весу рюкзаки, и девочки тоже. Сколько килограммов весит рюкзак одной девочки?
   
   
4. Во время стирки ткань садится на $\tfrac{1}{16}$ по длине и на $\tfrac{1}{18}$ по ширине. Сколько метров ткани шириной 90 см нужно взять, чтобы после стирки получить 51 м\(^2\)?
   
   
5. Сколько процентов составляет часть, отрезанная от верёвки, если отношение отрезанной части к оставшейся равно 2:3?
   
   
6. Чему равна первая цифра наименьшего натурального числа, сумма цифр которого равна 2012?
   
   
7. В решении 40 задач приняло участие 30 учеников из пяти разных классов (каждый решил хотя бы одну задачу). Любые два одноклассника решили одинаковое число задач. Любые два ученика из разных классов решили разное число задач. Сколько учеников решили ровно по одной задаче?

Решения задач

1. 1. Вычислите:$\quad$ $\frac{6 \cdot 1{,}46 \cdot 2{,}5}{7{,}5 \cdot 0{,}02}$ Решение: $$ \frac{6 \cdot 1{,}46 \cdot 2{,}5}{7{,}5 \cdot 0{,}02} = \frac{21{,}9}{0{,}15} = 146 $$ Ответ: 146.
   2. Вычислите: $\left(5\frac{1}{3} - 3\frac{5}{6}\right) \div \left( \frac{2}{5}\cdot 3\frac{3}{4} + 3\frac{1}{6}\right)$ Решение: $$ 5\frac{1}{3} = \frac{16}{3},\ 3\frac{5}{6} = \frac{23}{6} $$ $$ 5\frac{1}{3} - 3\frac{5}{6} = \frac{16}{3} - \frac{23}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} $$ $$ 3\frac{3}{4} = \frac{15}{4},\ 3\frac{1}{6} = \frac{19}{6} $$ $$ \frac{2}{5} \cdot \frac{15}{4} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2} $$ $$ \frac{3}{2} + \frac{19}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} $$ $$ \frac{3}{2} \div \frac{14}{3} = \frac{9}{28} $$ Ответ: $\frac{9}{28}$.
2. Укажите число между $\frac{9}{11}$ и $\frac{10}{11}$. Решение: Преобразуем дроби в десятичные: $$ \frac{9}{11} \approx 0{,}818;\quad \frac{10}{11} \approx 0{,}909 $$ Пример подходящего числа: $\frac{9}{10} = 0{,}9$ Ответ: $\frac{9}{10}$.
3. Вес рюкзака девочки: Решение: Пусть вес рюкзака девочки — $x$ кг, тогда у мальчика — $x + 2$ кг: $$ 10(x + 2) + 8x = 200 $$ $$ 18x + 20 = 200 \quad \Rightarrow \quad x = 10 $$ Ответ: 10 кг.
4. Необходимая длина ткани: Решение: После стирки: $$ \text{Длина: } \frac{15}{16}L,\ \text{Ширина: } \frac{17}{18} \cdot 0{,}9 = 0{,}85\ \text{м} $$ Требуемая площадь: $$ \frac{15}{16}L \cdot 0{,}85 = 51 \quad \Rightarrow \quad L = 64\ \text{м} $$ Ответ: 64 м.
5. Процент отрезанной части: Решение: Пусть отрезано $2k$ части, осталось $3k$. Всего: $5k$ Процент отрезанной части: $$ \frac{2k}{5k} \cdot 100% = 40\% $$ Ответ: $40\%$.
6. Первая цифра числа: Решение: Наименьшее число содержит максимум девяток: $$ 2012 = 9 \cdot 223 + 5 \quad \Rightarrow \quad \text{Первая цифра 5} $$ Ответ: 5.
7. Количество учеников с 1 задачей: Решение: По условию: - 5 классов $\Rightarrow$ 5 уникальных результатов - Всего студентов 30 Минимальное распределение: Количество задач: 1, 2, 3, 4, 40 Соотношение: $$ 25 \text{ учеников по 1 задаче}, 1 \text{ ученик по 2}, \ldots $$ Ответ: 25.