Лицей №146 из 6 в 7 класс 2011 год вариант 2

1. Найдите \(22\%\) от числа \[ \Bigl(5{,}17 \div 1\tfrac{3}{4} \;-\; 1{,}67 \cdot \tfrac{4}{7}\Bigr) \;\cdot\;1\tfrac{1}{11}. \]
2. Настя сократила обыкновенную дробь и получила \(\tfrac{4}{9}\). Найдите исходную дробь, если известно, что сумма её числителя и знаменателя равнялась 91. На сколько нужно уменьшить знаменатель исходной дроби, чтобы после сокращения она равнялась \(\tfrac{1}{2}\)?
3. На поляне растут грибы — маслята и лисички. Всего 25 штук. Если собрать половину маслят и две трети лисичек, то маслят и лисичек останется поровну. Сколько грибов каждого вида растёт на поляне?
4. Саша сложил из кубиков с ребром \(1\) см параллелепипед размером \(3\times4\times6\) см³. Кубики рассыпались, и \(\tfrac18\) их где‑то потерялась. Сколькими способами Саша сможет сложить из оставшихся кубиков новый параллелепипед?
5. Длину забора измерили верёвочкой, а потом заново — линейкой. Каждый раз длина выражалась целым числом. Какую наименьшую длину мог иметь забор, если длина верёвочки равна 80 см, а длина линейки — 30 см?

Решения задач

1. Найдите \(22\%\) от числа \[ \Bigl(5{,}17 \div 1\tfrac{3}{4} \;-\; 1{,}67 \cdot \tfrac{4}{7}\Bigr) \;\cdot\;1\tfrac{1}{11}. \] Решение:
   Вычислим выражение по действиям:
   \(5{,}17 \div 1\tfrac{3}{4} = 5{,}17 \div \frac{7}{4} = 5{,}17 \cdot \frac{4}{7} = 2{,}954\)
   \(1{,}67 \cdot \tfrac{4}{7} = 1{,}67 \cdot 0{,}5714 \approx 0{,}954\)
   \(2{,}954 - 0{,}954 = 2\)
   \(2 \cdot 1\tfrac{1}{11} = 2 \cdot \frac{12}{11} = \frac{24}{11}\)
   Найдем \(22\%\) от \(\frac{24}{11}\):
   \(\frac{24}{11} \cdot 0{,}22 = \frac{24 \cdot 22}{11 \cdot 100} = \frac{48}{100} = 0{,}48\)
   Ответ: \(0{,}48\).
   
   
2. Найдите исходную дробь, если её сокращение даёт \(\frac{4}{9}\), а сумма числителя и знаменателя равна \(91\). Решение:
   Исходная дробь имеет вид \(\frac{4k}{9k}\). По условию:
   \(4k + 9k = 91 \implies 13k = 91 \implies k = 7\)
   Исходная дробь: \(\frac{28}{63}\). Чтобы после сокращения получить \(\frac{1}{2}\), знаменатель должен быть \(56\):
   \(\frac{28}{63 - x} = \frac{1}{2} \implies 63 - x = 56 \implies x = 7\)
   Ответ: \(\frac{28}{63}\), уменьшить знаменатель на \(7\).
   
   
3. Решение системы уравнений: Пусть маслят \(x\), лисичек \(y\): \[ \begin{cases} x + y = 25 \\ \frac{x}{2} = \frac{y}{3} \end{cases} \implies 3x = 2y \implies x = \frac{2}{3}y \]
   Подставим в первое уравнение:
   \(\frac{2}{3}y + y = 25 \implies \frac{5}{3}y = 25 \implies y = 15\), \(x = 10\)
   Ответ: \(10\) маслят, \(15\) лисичек.
   
   
4. Объём исходного параллелепипеда: \(3 \cdot 4 \cdot 6 = 72\) кубика. После потери осталось \(72 \cdot \frac{7}{8} = 63\) кубика. Возможные размеры нового параллелепипеда:
   \(1 \times 1 \times 63\), \(1 \times 3 \times 21\), \(1 \times 7 \times 9\), \(3 \times 3 \times 7\)
   Ответ: \(4\) способа.
   
   
5. Наименьшая длина забора равна \(\text{НОК}(80, 30) = 240\) см. Проверка: \(240 \div 80 = 3\), \(240 \div 30 = 8\) — целые числа. Ответ: \(240\) см.