Лицей №146 из 6 в 7 класс 2011 год вариант 1

1. Найдите \(42\%\) от числа \[ \bigl(7{,}42\cdot\tfrac{5}{9} +11{,}48\div1\tfrac{4}{5}\bigr)\;\div\;0{,}35. \]
2. Даша сократила обыкновенную дробь и получила \(\displaystyle \frac{3}{11}\). Найдите исходную дробь, если известно, что её числитель был на 48 меньше знаменателя. На сколько надо увеличить числитель этой дроби, чтобы после сокращения она равнялась \(\displaystyle \tfrac{1}{3}\)?
3. Таня собрала букет из ромашек и васильков. Всего в букете 35 цветов. Если из него убрать половину ромашек и третью часть васильков, то ромашек и васильков останется поровну. Сколько цветов каждого вида было в собранном букете?
4. Коля сложил из кубиков с ребром 1 см параллелепипед размером \(2\times3\times8\) см³. Кубики рассыпались, и двенадцатая часть их где‑то потерялась. Сколькими способами Коля сможет сложить из оставшихся кубиков новый параллелепипед?
5. Длину удава измерили в «попугаях», а затем заново — в «попугайчиках». Каждый раз длина выражалась целым числом. Какую наименьшую длину мог иметь удав, если длина одного попугая равна 60 см, а длина одного попугайчика — 25 см?

Решения задач

1. Найдите \(42\%\) от числа \[ \bigl(7{,}42\cdot\tfrac{5}{9} +11{,}48\div1\tfrac{4}{5}\bigr)\;\div\;0{,}35. \]
   Решение: \[ (7{,}42 \cdot \tfrac{5}{9} + 11{,}48 \div 1{,}8) \div 0{,}35 = (\tfrac{7{,}42 \cdot 5}{9} + \tfrac{11{,}48}{1{,}8}) \div 0{,}35 \]
   \(7{,}42 \cdot 5 = 37{,}1\); \(37{,}1 : 9 \approx 4{,}122\)
   \(11{,}48 : 1{,}8 \approx 6{,}377\)
   \(4{,}122 + 6{,}377 = 10{,}499\)
   \(10{,}499 : 0{,}35 ≈ 29{,}997 ≈ 30\)
   \(42% \text{ от } 30 = 0{,}42 \cdot 30 = 12{,}6\)
   Ответ: 12,6.
   
   
2. Найдите исходную дробь, если после сокращения она стала \(\tfrac{3}{11}\), а её числитель был на 48 меньше знаменателя.
   Решение: Исходная дробь: \(\tfrac{3k}{11k}\). Разница: \(11k - 3k = 8k = 48 \Rightarrow k = 6\). Исходная дробь: \(\tfrac{18}{66}\).
   Для получения \(\tfrac{1}{3}\) после увеличения числителя: \(\tfrac{18 + x}{66} = \tfrac{1}{3} \Rightarrow 18 + x = 22 \Rightarrow x = 4\).
   Ответ: \(\tfrac{18}{66}\); на 4.
   
   
3. В букете 35 цветов. Пусть ромашек — \(x\), васильков — \(y\).
   Уравнения: \(\begin{cases} x + y = 35 \\ \tfrac{x}{2} = \tfrac{2y}{3} \end{cases}\)
   Из второго уравнения: \(3x = 4y \Rightarrow y = \tfrac{3x}{4}\). Подставляем в первое: \(x + \tfrac{3x}{4} = 35 \Rightarrow \tfrac{7x}{4} = 35 \Rightarrow x = 20\). Тогда \(y = 15\).
   Ответ: 20 ромашек и 15 васильков.
   
   
4. Исходно кубиков: \(2 \times 3 \times 8 = 48\). Потеряно: \(\tfrac{48}{12} = 4\). Осталось: 44. Новый параллелепипед должен иметь объём 44. Возможные размеры (с точностью до перестановок): \(1 \times 1 \times 44\), \(1 \times 2 \times 22\), \(1 \times 4 \times 11\), \(2 \times 2 \times 11\).
   Ответ: 4 способа.
   
   
5. Наименьшая длина удава — НОК(60, 25) = 300 см = 3 м. Проверка: \(300 : 60 = 5\) (попугаев), \(300 : 25 = 12\) (попугайчиков).
   Ответ: 3 м.