Лицей №146 из 6 в 7 класс 2010 год вариант 2

1. Задумано два числа. Если от первого числа взять $\tfrac{2}{5}$, получится \[ (6{,}7 - 1{,}24)\colon 2{,}4 \;-\; 0{,}55\cdot 0{,}5, \] а второе число составляет $80\%$ от числа \[ \bigl(2\tfrac{2}{5} - 1\tfrac{1}{7}\bigr)\colon 3\tfrac{1}{7} + 5\tfrac{3}{5}. \] Какое из чисел меньше?
   
   
2. У Вани и Саши вместе 80 марок. Если Ваня подарит две марки Саше, то у Саши станет в 4 раза больше марок, чем у Вани.
   1. Сколько марок у каждого из мальчиков?
   2. Сколько марок должен подарить Саша Ване, чтобы у Саши стало в 3 раза больше марок, чем у Вани?
   
   
   
3. Мальчики вылепили из пластилина три одинаковых параллелепипеда с шириной 4 см, длиной 9 см и высотой 2 см. Потом из всех трёх параллелепипедов вылепили один куб. Чему равна длина его ребра?
   
   
4. Точки $A,B,C,D$ лежат на одной прямой, $AD = 19\text{ см}$, $AB = 8\text{ см}$, $CD = 4\text{ см}$. Какие значения может принимать длина отрезка $BC$?
   
   
5. Можно ли утверждать, что для любого $x$ всегда выполняется $x a$?

Решения задач

1. Первое выражение: \[ (6{,}7 - 1{,}24)\colon 2{,}4 - 0{,}55 \cdot 0{,}5 = 5{,}46 \colon 2{,}4 - 0{,}275 = 2{,}275 - 0{,}275 = 2 \] Первое число: \(2 \colon \frac{2}{5} = 5\).
   
   Второе выражение: \[ \left(2\tfrac{2}{5} - 1\tfrac{1}{7}\right)\colon 3\tfrac{1}{7} + 5\tfrac{3}{5} = \left(\tfrac{44}{35}\right) \colon \tfrac{22}{7} + \tfrac{28}{5} = \tfrac{2}{5} + \tfrac{28}{5} = 6 \] Второе число: \(80% \cdot 6 = 4{,}8\).
   
   Ответ: Второе число меньше (4,8 < 5).
   
   
2. 1. Пусть у Вани \(x\) марок, у Саши \(y\): \[ \begin{cases} x + y = 80 \\ y + 2 = 4(x - 2) \end{cases} \] Решение: \[ y = 4x - 10 \quad \Rightarrow \quad x + 4x - 10 = 80 \quad \Rightarrow \quad x = 18, \quad y = 62 \] Ответ: У Вани 18 марок, у Саши 62.
      
      
   2. Пусть Саша подарит \(k\) марок: \[ 62 - k = 3(18 + k) \quad \Rightarrow \quad k = 2 \] Ответ: 2 марки.
   
   
   
3. Объём трёх параллелепипедов: \[ 3 \cdot (4 \cdot 9 \cdot 2) = 216 \text{ см}^3 \quad \Rightarrow \quad \text{ребро куба } \sqrt[3]{216} = 6 \text{ см} \] Ответ: 6 см.
   
   
4. Возможное расположение точек на прямой и расчёт $BC$: \[ AD = 19, \quad AB = 8, \quad CD = 4 \quad \Rightarrow \quad BC = 19 - 8 - 4 = 7 \text{ см} \] Ответ: 7 см.
   
   
5. Анализ неравенств:
   • \(x 0\)
   • \(8a > a\) верно только при \(a > 0\)
   Ответ: Нельзя утверждать для всех значений \(x\) и \(a\).