Лицей №146 из 6 в 7 класс 2010 год вариант 1

1. Задумано два числа. Если от первого числа взять $\tfrac{2}{3}$, получится \[ (5{,}5 - 0{,}25)\colon 1{,}2 \;-\; 4{,}75 \cdot 0{,}5, \] а второе число составляет $60\%$ от числа \[ \bigl(3\tfrac{1}{3} - 1\tfrac{2}{7}\bigr)\colon 6\tfrac{1}{7} + 2\tfrac{2}{3}. \] Какое из чисел меньше?
   
   
2. У Тани и Маши вместе 84 книги. Если Таня подарит одну книгу Маше, то у Маши станет в 3 раза больше книг, чем у Тани.
   1. Сколько книг у каждой из девочек?
   2. Сколько книг должна подарить Маша Тане, чтобы у Маши стало в 2 раза больше книг, чем у Тани?
   
   
   
3. Мальчики вылепили из пластилина три кубика с ребрами 3 см, 4 см и 5 см. Потом из всех трёх кубиков вылепили один куб. Чему равна длина его ребра?
   
   
4. Точки $A,B,C,D$ лежат на одной прямой, $AD = 11\text{ см}$, $AB = 3\text{ см}$, $CD = 5\text{ см}$. Какие значения может принимать длина отрезка $BC$?
   
   
5. Можно ли утверждать, что для любого $a$ всегда выполняется $a c$?

Решения задач

1. Задумано два числа. Первое число находим из выражения: \[ (5{,}5 - 0{,}25)\colon 1{,}2 - 4{,}75 \cdot 0{,}5 = \frac{5{,}25}{1{,}2} - 2{,}375 = 4{,}375 - 2{,}375 = 2{,}0 \] Это $\frac{2}{3}$ задуманного числа. Тогда первое число равно: $2{,}0 \div \frac{2}{3} = 3$.
   
   Второе число находим из выражения: \[ \bigl(3\tfrac{1}{3} - 1\tfrac{2}{7}\bigr)\colon 6\tfrac{1}{7} + 2\tfrac{2}{3} = \left(\frac{70 - 27}{21}\right) \colon \frac{43}{7} + \frac{8}{3} = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = 3 \] 60% от этого числа: $3 \cdot 0{,}6 = 1{,}8$.
   
   Ответ: Второе число ($1{,}8$) меньше первого ($3$).
   
   
2. 1. Пусть у Тани $x$ книг, тогда у Маши $(84 - x)$. После подарка: \[ 84 - x + 1 = 3(x - 1) \quad \Rightarrow \quad 85 - x = 3x - 3 \quad \Rightarrow \quad 4x = 88 \quad \Rightarrow \quad x = 22 \] Ответ: У Тани 22 книги, у Маши 62 книги.
      
      
   2. Пусть Маша подарит $k$ книг: \[ 62 - k = 2(22 + k) \quad \Rightarrow \quad 62 - k = 44 + 2k \quad \Rightarrow \quad 3k = 18 \quad \Rightarrow \quad k = 6 \] Ответ: 6 книг.
   
   
   
3. Объёмы кубиков: \[ 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216 \quad \Rightarrow \quad \sqrt[3]{216} = 6\text{ см} \] Ответ: 6 см.
   
   
4. Возможные варианты расположения точек:
   • $A-B-C-D$: $BC = AD - AB - CD = 11 - 3 - 5 = 3$ см
   • $A-C-B-D$: $BC = AB + CD - AD = 3 + 5 - 11 + 3 = 9$ см (зависит от расположения)
   Ответ: $BC$ может быть 3 см или 9 см.
   
   
5. Для $a = -1$: $-1 \not -2$ (неверно). Ответ: Нет, утверждения неверны для отрицательных чисел.