Лицей №146 из 6 в 7 класс 2009 год вариант 1

1. Даны три числа: \[ A=\bigl(2\tfrac{1}{6}-1\tfrac{2}{5}\bigr)\times\frac{25}{23},\quad B=\bigl(0{,}15:2{,}5\bigr)+\bigl(0{,}35\times0{,}4\bigr),\quad C=\bigl(20-6\tfrac{2}{3}\bigr)\colon33\tfrac{1}{3}. \]
   1. Найдите значения чисел \(A\), \(B\) и \(C\).
   2. Найдите разность между средним арифметическим чисел \(B\) и \(C\) и половиной числа \(A\).
   
   
   
2. 1. У Коли есть прямоугольник со сторонами 15 см и 3 дм, а у Кости – со сторонами 50 мм и 90 см. Сравните площади их прямоугольников.
   2. Коля отрезал от своего прямоугольника 10% большей стороны и 20% меньшей стороны, а Костя – 20% большей стороны и 10% меньшей стороны. Сравните площади получившихся прямоугольников.
   
   
   
3. Третья часть деревьев в парке – липы, пятая часть – березы, а остальные 56 деревьев – клены. Сколько деревьев в парке?
   
   
4. Прямоугольник \(2\times7\) разграфлён на 14 одинаковых квадратов. Разделите прямоугольник на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. Найдите как можно больше решений этой задачи.
   
   
5. Длинную нитку сложили вдвое, а потом ещё раз вдвое. Получившуюся толстую «нитку» разрезали на две части и разобрали на тонкие ниточки. Оказалось, что две из них имеют длины 5 и 8. Какую наименьшую длину могла иметь выбранная в начале длинная нитка?

Решения задач

1. 1. Вычисление числа \( A \): \[ A = \left(2\tfrac{1}{6} - 1\tfrac{2}{5}\right) \times \frac{25}{23} \] Переведем смешанные числа в дроби: \[ 2\tfrac{1}{6} = \frac{13}{6}, \quad 1\tfrac{2}{5} = \frac{7}{5} \] Выполним вычитание (общий знаменатель 30): \[ \frac{13}{6} - \frac{7}{5} = \frac{65 - 42}{30} = \frac{23}{30} \] Умножим на \(\frac{25}{23}\): \[ A = \frac{23}{30} \times \frac{25}{23} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \] Вычисление числа \( B \): \[ B = 0{,}15 : 2{,}5 + 0{,}35 \times 0{,}4 \] Вычислим по частям: \[ 0{,}15 : 2{,}5 = 0{,}06,\quad 0{,}35 \times 0{,}4 = 0{,}14 \] Сумма: \[ B = 0{,}06 + 0{,}14 = 0{,}2 = \frac{1}{5} \] Вычисление числа \( C \): \[ C = \left(20 - 6\tfrac{2}{3}\right) : 33\tfrac{1}{3} \] Переведем смешанные числа: \[ 6\tfrac{2}{3} = \frac{20}{3},\quad 33\tfrac{1}{3} = \frac{100}{3} \] Выполним действия: \[ 20 - \frac{20}{3} = \frac{40}{3},\quad C = \frac{40}{3} : \frac{100}{3} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5} \] Ответ: \( A = \frac{5}{6} \), \( B = \frac{1}{5} \), \( C = \frac{2}{5} \).
   2. Среднее арифметическое \( B \) и \( C \): \[ \frac{B + C}{2} = \frac{\frac{1}{5} + \frac{2}{5}}{2} = \frac{3}{10} \] Половина числа \( A \): \[ \frac{A}{2} = \frac{5}{12} \] Разность: \[ \frac{3}{10} - \frac{5}{12} = \frac{18}{60} - \frac{25}{60} = -\frac{7}{60} \] Ответ: \(-\frac{7}{60}\).
   
   
   
2. 1. Размеры прямоугольников:
      У Коли: \( 15 \) см и \( 3 \) дм = \( 30 \) см. Площадь: \( 15 \times 30 = 450 \, \text{см}^2 \)
      У Кости: \( 50 \) мм = \( 5 \) см и \( 90 \) см. Площадь: \( 5 \times 90 = 450 \, \text{см}^2 \)
      Ответ: площади равны.
   2. Измененные размеры:
      У Коли: Большая сторона уменьшилась на \( 10% \): \( 30 \times 0{,9} = 27 \) см Меньшая сторона уменьшилась на \( 20% \): \( 15 \times 0{,8} = 12 \) см Новая площадь: \( 27 \times 12 = 324 \, \text{см}^2 \)
      У Кости: Большая сторона уменьшилась на \( 20% \): \( 90 \times 0{,8} = 72 \) см Меньшая сторона уменьшилась на \( 10% \): \( 5 \times 0{,9} = 4{,}5 \) см Новая площадь: \( 72 \times 4{,}5 = 324 \, \text{см}^2 \)
      Ответ: площади равны.
   
   
   
3. Пусть всего \( x \) деревьев. Тогда: \[ \frac{x}{3} \, (\text{липы}),\quad \frac{x}{5} \, (\text{березы}),\quad \text{клены} = x - \left(\frac{x}{3} + \frac{x}{5}\right) = 56 \] Упростим уравнение: \[ x - \frac{8x}{15} = 56 \quad \Rightarrow \quad \frac{7x}{15} = 56 \quad \Rightarrow \quad x = 120 \] Ответ: 120 деревьев.
4. Прямоугольник \( 2 \times 7 \) можно разделить следующими способами:
   • Вертикальный разрез посередине: каждая часть \( 1 \times 7 \)
   • Горизонтальный разрез посередине: каждая часть \( 2 \times 3{,}5 \) (но разрез по клеткам невозможен, требуется целочисленное деление)
   • Фигуры-"гребёнки": например, первая часть занимает клетки \( (1,1), (1,2), (2,3), (2,4), (1,5), (1,6), (2,7) \), вторая – симметрично.
   Примеры корректных разрезов представлены на схемах:
   Ответ: Наименьшая длина нитки – 21.