Лицей №146 из 6 в 7 класс 2008 год вариант 1

1. Даны три числа: $\tfrac{2}{7}$, $\tfrac{3}{8}$ и $0{,}5$.
   1. Найдите наименьшее из этих чисел.
   2. Умножьте найденное число на сумму двух остальных.
   3. Найдите $12\%$ от полученного произведения.
   
   
   
2. Малыш и Карлсон съели 36 булочек за 15 минут. Известно, что Карлсон ест в 5 раз быстрее Малыша. Ответьте на вопросы:
   1. Сколько булочек съел Карлсон?
   2. За какое время Карлсон один мог съесть все 36 булочек?
   3. Мог ли Малыш один съесть все 36 булочек за один час?
   
   
   
3. Ваня и Денис задумали по одному целому числу и отметили свои числа на координатной прямой. Оказалось, что число Вани расположено в 3 раза ближе к нулю, чем число Дениса, а расстояние между числами равно 12. Можно ли найти задуманные мальчиками числа? Сколько решений имеет задача?

Решения задач

1. Даны три числа: $\frac{2}{7}$, $\frac{3}{8}$ и $0{,}5$.
   1. Найдите наименьшее из этих чисел.
      Решение: Переведём числа в десятичный вид:
      $\frac{2}{7} \approx 0{,}2857$, $\frac{3}{8} = 0{,}375$, $0{,}5 = 0{,}5$.
      Наименьшее число: $\frac{2}{7}$.
      Ответ: $\frac{2}{7}$.
   2. Умножьте найденное число на сумму двух остальных.
      Решение: $\frac{2}{7} \cdot \left(0{,}375 + 0{,}5\right) = \frac{2}{7} \cdot 0{,}875 = \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{0,25}$.
      Ответ: $0{,}25$.
   3. Найдите $12\%$ от полученного произведения.
      Решение: $0{,}25 \cdot 0{,}12 = 0{,}03$.
      Ответ: $0{,}03$.
   
   
   
2. Малыш и Карлсон съели 36 булочек за 15 минут.
   1. Сколько булочек съел Карлсон?
      Решение: Пусть скорость Малыша — x булочек/мин. Тогда Карлсона — 5x булочек/мин. За 15 минут:
      $(x + 5x) \cdot 15 = 36$
      $6x \cdot 15 = 36$
      $x = \frac{36}{90} = 0{,4}$
      Карлсон съел: $5x \cdot 15 = 30$ булочек.
      Ответ: 30.
   2. За какое время Карлсон один мог съесть все 36 булочек?
      Решение: Скорость Карлсона: 5x = 2 булочки/мин. Время: $\frac{36}{2} = 18$ минут.
      Ответ: 18 минут.
   3. Мог ли Малыш один съесть все 36 булочек за один час?
      Решение: Скорость Малыша 0,4 булочки/мин. За 60 минут: $0{,}4 \cdot 60 = 24$ булочки. Не может.
      Ответ: Нет.
   
   
   
3. Найдите задуманные числа.
   Решение: Пусть число Вани — $a$, число Дениса — $b$. По условию:
   $\frac{|a|}{|b|} = \frac{1}{3}$ и $|a - b| = 12$.
   Рассмотрим возможные случаи:
   1. $a > 0$, $b > 0$: $b = 3a$, $|3a - a| = 12 \Rightarrow a = 6$, $b = 18$
   2. $a < 0$, $b < 0$: $b = 3a$, $|3a - a| = 12 \Rightarrow a = -6$, $b = -18$
   3. $a > 0$, $b < 0$: $b = -3a$, $|-3a - a| = 12 \Rightarrow a = 3$, $b = -9$
   4. $a 0$: $b = -3a$, $|-3a - a| = 12 \Rightarrow a = -3$, $b = 9$
   
   Ответ: Пары чисел: $(6, 18)$, $(-6, -18)$, $(3, -9)$, $(-3, 9)$. Задача имеет 4 решения.