Лицей №146 из 6 в 7 класс 2007 год вариант 2

1. Даны два числа: $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{6}$. Запишите выражения и найдите их значения:
   1. произведение меньшего из этих чисел на их сумму;
   2. разность между произведением этих чисел и большим из них.
   
   
   
2. Сторону квадрата увеличили на $20\%$. На сколько процентов увеличится его площадь?
   
   
3. В трёх коробках находится 92 конфеты. В первой коробке в три раза больше конфет, чем во второй, а в третьей коробке на шесть конфет меньше, чем в первой.
   1. Сколько конфет находится в каждой коробке?
   2. Можно ли эти конфеты разложить так, чтобы во второй коробке было в три раза больше конфет, чем в первой, а в третьей — в три раза больше, чем во второй?
   
   
   
4. На числовой прямой дана точка $A(-2)$. Найти координаты точек $B$ и $C$ таких, что \[ BC = 12,\qquad AB = 2\,AC. \] Сколько решений имеет задача?

Решения задач

1. Даны два числа: $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{6}$.
   1. Произведение меньшего из этих чисел на их сумму:
      Меньшее число: $\frac{1}{6}$. Сумма: $\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}$. Тогда произведение:
      $\frac{1}{6} \cdot \frac{11}{12} = \frac{11}{72}$.
      Ответ: $\frac{11}{72}$.
      
      
   2. Разность между произведением этих чисел и большим из них:
      Произведение: $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$.
      Разность: $\frac{1}{8} - \frac{3}{4} = \frac{1}{8} - \frac{6}{8} = -\frac{5}{8}$.
      Ответ: $-\frac{5}{8}$.
   
   
   
2. Увеличение площади квадрата при увеличении стороны на $20\%$:
   Пусть исходная сторона $a$. Новая сторона: $1,2a$.
   Исходная площадь: $a^2$. Новая площадь: $(1,2a)^2 = 1,44a^2$.
   Увеличение площади: $1,44 - 1 = 0,44$, что соответствует $44\%$.
   Ответ:$44\%$.
   
   
3. Конфеты в трёх коробках:
   1. Пусть во второй коробке $x$ конфет. Тогда:
      Первая коробка: $3x$; третья: $3x - 6$.
      Уравнение: $x + 3x + (3x - 6) = 92$.
      $7x - 6 = 92$
      $7x = 98$
      $x = 14$
      
      Ответ: 42, 14, 36 конфет.
      
      
   2. При перераспределении должно выполняться:
      Если в первой коробке $y$ конфет, тогда во второй $3y$, в третьей $9y$.
      Сумма: $y + 3y + 9y = 13y = 92$.
      $13$ не делит $92$ (т.к. $92 : 13 = 7\frac{1}{13}$), значит, такое распределение невозможно.
      Ответ: Нельзя.
   
   
   
4. Координаты точек $B$ и $C$:
   Возможные случаи расположения точек:
   • Случай 1: $C$ между $A$ и $B$
     • Координаты: $B(22)$, $C(10)$
     • Координаты: $B(-26)$, $C(-14)$
   • Случай 2: $A$ между $B$ и $C$
     • Координаты: $B(-10)$, $C(2)$
     • Координаты: $B(6)$, $C(-6)$
   Ответ: Четыре решения: $(B=22; C=10)$, $(B=-26; C=-14)$, $(B=-10; C=2)$, $(B=6; C=-6)$.