Лицей №146 из 6 в 7 класс 2007 год вариант 1

1. Даны два числа: $\tfrac{2}{3}$ и $\tfrac{1}{4}$. Запишите выражения и найдите их значения:
   1. произведение большего из этих чисел на их сумму;
   2. разность между меньшим из этих чисел и их произведением.
   
   
   
2. Сторону квадрата увеличили на $10\%$. На сколько процентов увеличится его площадь?
   
   
3. На трёх полках находится 75 книг. На первой полке в два раза больше книг, чем на второй, а на третьей — на пять книг меньше, чем на первой.
   1. Сколько книг находится на каждой полке?
   2. Можно ли эти книги расставить так, чтобы на второй полке было в два раза больше книг, чем на первой, а на третьей — в два раза больше книг, чем на второй?
   
   
   
4. На числовой прямой дана точка $A(-4)$. Найти координаты точек $B$ и $C$ таких, что \[ BC = 9,\quad AB = 2\,AC. \] Сколько решений имеет задача?

Решения задач

1. Даны два числа: $\tfrac{2}{3}$ и $\tfrac{1}{4}$. Запишите выражения и найдите их значения:
   1. Произведение большего из этих чисел на их сумму.
      Решение: Большее число $\frac{2}{3}$. Сумма чисел:
      $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$.
      Произведение: $\frac{2}{3} \cdot \frac{11}{12} = \frac{22}{36} = \frac{11}{18}$.
      Ответ: $\frac{11}{18}$.
   2. Разность между меньшим из этих чисел и их произведением.
      Решение: Меньшее число $\frac{1}{4}$. Произведение: $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6}$.
      Разность: $\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$.
      Ответ: $\frac{1}{12}$.
2. Сторону квадрата увеличили на $10\%$. На сколько процентов увеличится его площадь?
   Решение: Пусть исходная сторона квадрата $a$, тогда площадь $S = a^2$. После увеличения:
   Новая сторона: $1,1a$.
   Новая площадь: $(1,1a)^2 = 1,21a^2$.
   Разница: $1,21a^2 - a^2 = 0,21a^2$.
   Увеличение на $21\%$.
   Ответ: $21\%$.
3. На трёх полках находится 75 книг. На первой полке в два раза больше книг, чем на второй, а на третьей — на пять книг меньше, чем на первой.
   1. Сколько книг находится на каждой полке?
      Решение: Пусть на второй полке $x$ книг. Тогда на первой $2x$ книг, на третьей $2x - 5$.
      Уравнение: $2x + x + (2x - 5) = 75 \Rightarrow 5x - 5 = 75 \Rightarrow 5x = 80 \Rightarrow x = 16$.
      На первой: $2 \cdot 16 = 32$, на третьей: $32 - 5 = 27$.
      Ответ: 32, 16, 27.
   2. Можно ли эти книги расставить так, чтобы на второй полке было в два раза больше книг, чем на первой, а на третьей — в два раза больше книг, чем на второй?
      Решение: Пусть на первой станет $y$ книг. Тогда на второй $2y$, на третьей $4y$.
      Сумма: $y + 2y + 4y = 7y = 75 \Rightarrow y = \frac{75}{7} ≈ 10,71$ — не целое.
      Целочисленного решения нет.
      Ответ: Нет.
4. На числовой прямой дана точка $A(-4)$. Найти координаты точек $B$ и $C$ таких, что \[ BC = 9,\quad AB = 2\,AC. \] Сколько решений имеет задача?
   Решение: Пусть $AC = x$, тогда $AB = 2x$. Возможные случаи:
   1. Точки слева от $A$: $C = -4 - x$, $B = -4 - 2x$. Тогда $|B - C| = x = 9 \Rightarrow C = -13$, $B = -22$.
   2. Точки справа от $A$: $C = -4 + x$, $B = -4 + 2x$. Тогда $|B - C| = x = 9 \Rightarrow C = 5$, $B = 14$.
   3. Смешанное расположение 1: $B$ слева, $C$ справа. $B = -4 - 2x$, $C = -4 + x$. $|-2x - x| = 3x = 9 \Rightarrow x=3$. Точки $C = -1$, $B = -10$.
   4. Смешанное расположение 2: $B$ справа, $C$ слева. $B = -4 + 2x$, $C = -4 - x$. $|2x + x| = 3x =9 \Rightarrow x=3$. Точки $C = -7$, $B = 2$.
   Ответ: 4 решения: $(B = -22, C = -13)$; $(B = 14, C = 5)$; $(B = -10, C = -1)$; $(B = 2, C = -7)$.
   Всего 4 решения.