Лицей №146 из 6 в 7 класс 2006 год вариант 1

1. Пусть \[ A = 5.625 -\Bigl(\tfrac{7}{15} : 1\tfrac{13}{15} + \tfrac{3}{8}\Bigr), \qquad B = \bigl(4\tfrac{5}{6} - 1\tfrac{7}{18}\cdot2.4\bigr):1.5. \]
   1. Вычислите \(A\) и \(B\).
   2. Найдите такое число \(C\), что \(A + B\) составляет \(60\%\) от \(C\).
   3. Решите уравнение \[ C(x+2) = A \cdot B + 5. \]
   
   
   
2. В 10 часов утра из пунктов \(A\) и \(B\), расстояние между которыми равно \(99\) км, навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Через \(3\) часа они встретились в точке \(C\). Известно, что скорость велосипедиста, выехавшего из пункта \(A\), на \(3\) км/ч больше скорости второго.
   1. Найдите расстояния \(AC\) и \(CB\).
   2. Найдите скорости велосипедистов.
   3. Во сколько они прибыли в пункты \(B\) и \(A\) соответственно?
   
   
   
3. На координатной прямой заданы точки \(A(-5)\), \(B(3)\), \(C(7)\).
   1. Отложите от точки \(C\) отрезок \(CD\), длина которого равна половине длины \(BC\).
   2. Отложите от точки \(A\) отрезок \(AN\), длина которого равна \(\tfrac{3}{8}\) от длины \(AB\).
   3. Ответьте на вопрос: «Какую длину может иметь отрезок \(ND\)?»
   
   
   

Решения задач

1. 1. Вычислите \(A\) и \(B\).
      Решение: \[ A = 5,625 - \left( \frac{7}{15} : 1\tfrac{13}{15} + \frac{3}{8} \right) \] \[ 1\tfrac{13}{15} = \frac{28}{15} \Rightarrow \frac{7}{15} : \frac{28}{15} = \frac{7}{15} \cdot \frac{15}{28} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \quad \Rightarrow \quad A = 5,625 - 0,625 = 5 \] \[ B = \left(4\tfrac{5}{6} - 1\tfrac{7}{18} \cdot 2,4 \right) : 1,5 \] \[ 1\tfrac{7}{18} = \frac{25}{18}, \quad \frac{25}{18} \cdot 2,4 = \frac{25}{18} \cdot \frac{12}{5} = \frac{10}{3} \quad \Rightarrow \quad 4\tfrac{5}{6} - \frac{10}{3} = \frac{29}{6} - \frac{20}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \] \[ B = \frac{3}{2} : 1,5 = 1 \]
      Ответ: \(A = 5\), \(B = 1\).
      
      
   2. Найдите такое число \(C\), что \(A + B\) составляет \(60\%\) от \(C\).
      Решение: \[ A + B = 5 + 1 = 6 \quad \Rightarrow \quad 0,6 \cdot C = 6 \quad \Rightarrow \quad C = \frac{6}{0,6} = 10 \]
      Ответ: \(10\).
      
      
   3. Решите уравнение \(C(x+2) = A \cdot B + 5\).
      Решение: \[ 10(x + 2) = 5 \cdot 1 + 5 \quad \Rightarrow \quad 10x + 20 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-10}{10} = -1 \]
      Ответ: \(-1\).
   
   
   
2. 1. Найдите расстояния \(AC\) и \(CB\).
      Решение: Пусть скорость велосипедиста из \(B\) равна \(v\) км/ч, тогда скорость из \(A\) — \(v + 3\) км/ч. Суммарная скорость \(v + (v + 3) = 2v + 3\). Время до встречи 3 часа: \[ 3(2v + 3) = 99 \quad \Rightarrow \quad 2v + 3 = 33 \quad \Rightarrow \quad v = 15 \quad \text{км/ч} \] \[ AC = (15 + 3) \cdot 3 = 54 \text{ км}, \quad CB = 15 \cdot 3 = 45 \text{ км} \]
      Ответ: \(AC = 54\text{ км}\), \(CB = 45\text{ км}\).
      
      
   2. Найдите скорости велосипедистов.
      Решение: Уже найдено: \[ v_{B} = 15 \text{ км/ч}, \quad v_{A} = 15 + 3 = 18 \text{ км/ч} \]
      Ответ: \(18\text{ км/ч}\) и \(15\text{ км/ч}\).
      
      
   3. Во сколько они прибыли в пункты \(B\) и \(A\) соответственно?
      Решение:
      Велосипедист из \(A\) проедет \(CB = 45\) км за: \[ \frac{45}{18} = 2,5 \text{ ч} = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин} \quad \Rightarrow \quad 10:00 + 3 \text{ ч } + 2 \text{ ч }30 \text{ мин} = 15:30 \]
      Велосипедист из \(B\) проедет \(AC = 54\) км за: \[ \frac{54}{15} = 3,6 \text{ ч} = 3 \text{ ч } 36 \text{ мин} \quad \Rightarrow \quad 10:00 + 3 \text{ ч } + 3 \text{ ч }36 \text{ мин} = 16:36 \]
      Ответ: в \(15:30\) и \(16:36\).
   
   
   
3. 1. Отложите от точки \(C\) отрезок \(CD\), длина которого равна половине длины \(BC\).
      Решение: \[ BC = 7 - 3 = 4 \quad \Rightarrow \quad CD = 2 \] Возможные координаты \(D\): \[ D(7 \pm 2) = 9 \text{ или } 5 \]
      Ответ: \(D(9)\) или \(D(5)\).
      
      
   2. Отложите от точки \(A\) отрезок \(AN\), длина которого равна \(\tfrac{3}{8}\) от длины \(AB\).
      Решение: \[ AB = 3 - (-5) = 8 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{8} \cdot 8 = 3 \] Координата \(N\): \[ N(-5 + 3) = -2 \]
      Ответ: \(N(-2)\).
      
      
   3. Какую длину может иметь отрезок \(ND\)?
      Решение:
      Если \(D(9)\): \[ ND = 9 - (-2) = 11 \] Если \(D(5)\): \[ ND = 5 - (-2) = 7 \]
      Ответ: \(7\) или \(11\).