8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1329 из 8 в 9 класс 2023 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2023
Сложность:
Дата экзамена: 2023
youit.school ©

Школа № 1329


2023




  1. Вычислить: $2 \sqrt{125}+6 \sqrt{45}-\frac{1}{4} \sqrt{80}-5 \sqrt{5}$;
  2. Упростить:
    1. $\left(1+\frac{3 x+x^2}{3+\mathrm{x}}\right):\left(\frac{1}{x+1}-\frac{\mathrm{x}}{1+2 \mathrm{x}+\mathrm{x}^2}\right)^{-1}$;
    2. $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.
  3. Решите уравнение: $\frac{44}{4-x^2}+\frac{2 x+7}{x-2}=\frac{3-x}{x+2}$;
  4. Постройте график функции $f(x)=\sqrt{x^2+4 x+4}-1$
  5. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 16 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него.
  6. Найдите наименьшее целое отрицательное решение системы $$ \left\{\begin{array}{c} \frac{2 x-1}{2}<\frac{x+2}{3} \\ \frac{2 x+3}{2} \geqq \frac{x}{4}+\frac{1}{2} \end{array}\right. $$
  7. Запишите в ответ номера верных утверждений:
    1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
    2. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны.
    3. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$
  8. В прямоугольном треугольнике $A B C$ из вершины прямого угла $C$ проведена высота $C H$. Известно, что $A H=3$ см, $B H=27 \mathrm{~cm}$. Найдите длину отрезка CH .
  9. В окружности проведены две пересекающиеся хорды. Одна из них делится на отрезки 3 и 12 см, а другая - пополам. Найдите длину второй хорды.
  10. Треугольники $A B C$ и $A_l B_l C_l$ подобны, их сходственные стороны относятся как 6:5. Найдите площадь треугольника $A B C$, если она больше площади треугольника $A_l B_l C_l$ на $77 \mathrm{~cm}^2$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить: $2 \sqrt{125}+6 \sqrt{45}-\frac{1}{4} \sqrt{80}-5 \sqrt{5}$;
    Решение: $2 \sqrt{125} = 2 \cdot 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5}$
    $6 \sqrt{45} = 6 \cdot 3\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$
    $\frac{1}{4} \sqrt{80} = \frac{1}{4} \cdot 4\sqrt{5} = \sqrt{5}$
    Объединяем слагаемые: $10\sqrt{5} + 18\sqrt{5} - \sqrt{5} - 5\sqrt{5} = (10 + 18 - 1 - 5)\sqrt{5} = 22\sqrt{5}$.
    Ответ: $22\sqrt{5}$.

  2. Упростить:
    1. $\left(1+\frac{3x+x^2}{3+x}\right):\left(\frac{1}{x+1}-\frac{x}{1+2x+x^2}\right)^{-1}$;
      Решение: Упростим числитель: $\frac{3x + x^2}{3 + x} = x$ → $1 + x$.
      Знаменатель: $\frac{1}{(x+1)} - \frac{x}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$, обратная величина: $(x+1)^2$.
      Итог: $(1 + x) \cdot (x + 1)^2 = (x + 1)^3$.
      ОДЗ: $x \neq -3, -1$.
      Ответ: $(x + 1)^3$ при $x \neq -3, -1$.

    2. $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$;
      Решение: Общий знаменатель: $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 2$.
      Числитель: $(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = (8 - 2\sqrt{15}) - (8 + 2\sqrt{15}) = -4\sqrt{15}$.
      Результат: $\frac{-4\sqrt{15}}{2} = -2\sqrt{15}$.
      Ответ: $-2\sqrt{15}$.


  3. Решите уравнение: $\frac{44}{4-x^2}+\frac{2x+7}{x-2}=\frac{3-x}{x+2}$;
    Решение: Преобразуем: $\frac{-44}{(x-2)(x+2)} + \frac{2x+7}{x-2} = \frac{3 - x}{x + 2}$.
    Домножим на $-(x-2)(x+2)$:
    $44 - (2x + 7)(x + 2) + (3 - x)(x - 2) = 0$.
    Раскрываем скобки: $3x^2 + 6x - 24 = 0$ → $x^2 + 2x -8 =0$ → $x=-4$ (единственный корень).
    Проверка: подходит.
    Ответ: $x = -4$.

  4. Постройте график функции $f(x)=\sqrt{x^2+4x+4}-1$;
    Решение: $\sqrt{x^2 + 4x + 4} = |x + 2|$.
    $f(x) = |x + 2| -1$ — график "галочка" с минимумом в точке $(-2, -1)$.
    Ответ: График $f(x) = |x+2| -1$.

  5. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения реки.
    Решение: Пусть скорость течения $x$ км/ч. Уравнение времени:
    $\frac{240}{16 + x} + \frac{240}{16 - x} + 8 =40$ → $\frac{240}{16 + x} + \frac{240}{16 - x} =32$.
    Решаем: $15(16 -x) +15(16 +x) =2(256 -x^2)$ → $x=4$.
    Ответ: 4 км/ч.

  6. Найдите наименьшее целое отрицательное решение системы: $$ \left\{\begin{array}{c} \frac{2x-1}{2}<\frac{x+2}{3} \\ \frac{2x+3}{2} \geq \frac{x}{4}+\frac{1}{2} \end{array}\right. $$ \\ Решение: Первое неравенство: $x < \frac{7}{4}$. \\ Второе неравенство: $x \geq -\frac{4}{3}$. \\ Общее решение: $x\in[-\frac{4}{3}; \frac{7}{4})$. \\ Наименьшее целое отрицательное: $x = -1$. \\ Ответ: $-1$.

  7. Запишите номера верных утверждений:
    1. Верно. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.
    2. Неверно. Диагонали параллелограмма не перпендикулярны.
    3. Верно. Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
    Ответ: 1, 3.

  8. В прямоугольном треугольнике $ABC$ найдите длину отрезка $CH$. \\ Решение: По свойству высоты: $CH^2 = AH \cdot HB =3 \cdot27=81$ → $CH=9$ см. \\ Ответ: 9 см.

  9. Найдите длину второй хорды. \\ Решение: По теореме о хордах: $3 \cdot12 = \left(\frac{x}{2}\right)^2$ → $x= 12$ см. \\ Ответ: 12 см.

  10. Найдите площадь треугольника $ABC$. \\ Решение: $k^2 = \frac{6^2}{5^2} = \frac{36}{25}$ → $\frac{S}{S_1} = \frac{36}{25}$. \\ $36k -25k=77$ →$k =7$ → $S=36 \cdot7=252$ см².
    Ответ: 252 см².
Материалы школы Юайти