Лицей №1329 из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1

Школа № 1329

2023

1. Решите уравнение: $1,5-\left(\frac{x}{4}+\frac{1-2 x}{6}\right)=2$
2. Выполните действие: $\left(-1 \frac{2}{3} x y^4\right)^2 \cdot\left(0,6 \cdot \frac{x^3}{y^5}\right)^2$.
3. Упростите выражение $\left(x^2+4 x\right)^2-x^2(x-2)(x+2)-4 x^2(2 x-3)$ и найдите его значение при $x=-\frac{1}{4}$.
4. Какой многочлен нужно прибавить к многочлену $27 a^3-27 a^2+7 a+1$, чтобы получить куб разности?
5. Найдите площадь треугольника, образованного осями координат и прямой $y=$ $-2 x+2$
6. Постройте график функции: $$ y= \begin{cases}x^2-3, & \text { если }-2 \leq x<1 \\ 3 x-5 & , \text { eсли } 1 \leq x<4\end{cases} $$
7. Медиана, длина которой равна 6 см, разбивает треугольник на два треугольника с периметром 13 и 16 см. Найдите периметр исходного треугольника.
8. Разность смежных углов составляет одну шестую часть от их суммы. Найдите эти углы.
9. Два угла треугольника равны $22^{\circ}$ и $58^{\circ}$. Тогда угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины третьего угла, равен
   1. $28^{\circ}$
   2. $18^{\circ}$
   3. $20^{\circ}$
   4. $30^{\circ}$
   5. среди предложенных ответов нет правильного
10. Имеется двузначное число, утроенная сумма цифр которого дает исходное число. Если же к нему прибавить 45, то получится двузначное число, такое, что при перестановке цифр этого числа имеем исходное число. Найдите данное число.

Решения задач

1. Решите уравнение: $1,5-\left(\frac{x}{4}+\frac{1-2x}{6}\right)=2$
   Решение: $1,5 - \left(\frac{x}{4} + \frac{1 - 2x}{6}\right) = 2$
   $\frac{x}{4} + \frac{1 - 2x}{6} = 1,5 - 2 = -0,5$
   Умножим обе части на 12: $3x + 2(1 - 2x) = -6$
   $3x + 2 - 4x = -6$
   $-x = -8$
   $x = 8$
   Ответ: 8.
   
   
2. Выполните действие: $\left(-1 \frac{2}{3} x y^4\right)^2 \cdot\left(0,6 \cdot \frac{x^3}{y^5}\right)^2$
   Решение: $\left(-\frac{5}{3}x y^4\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{5} \cdot \frac{x^3}{y^5}\right)^2$
   $\left(\frac{25}{9}x^2 y^8\right) \cdot \left(\frac{9}{25} \cdot \frac{x^6}{y^{10}}\right)$
   $\frac{25}{9} \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{x^8}{y^2} = \frac{x^8}{y^2}$
   Ответ: $\dfrac{x^8}{y^2}$.
   
   
3. Упростите выражение $\left(x^2+4x\right)^2-x^2(x-2)(x+2)-4x^2(2x-3)$ и найдите его значение при $x=-\frac{1}{4}$
   Решение: $(x^4 + 8x^3 + 16x^2) - x^2(x^2 - 4) - 8x^3 + 12x^2$
   $x^4 + 8x^3 + 16x^2 - x^4 + 4x^2 - 8x^3 + 12x^2$
   $32x^2$
   При $x = -\frac{1}{4}$: $32 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 32 \cdot \frac{1}{16} = 2$
   Ответ: 2.
   
   
4. Какой многочлен нужно прибавить к многочлену $27a^3-27a^2+7a+1$, чтобы получить куб разности?
   Решение: Куб разности: $(3a - 1)^3 = 27a^3 - 27a^2 + 9a - 1$
   Разность: $(27a^3 - 27a^2 + 9a - 1) - (27a^3 - 27a^2 + 7a + 1) = 2a - 2$
   Ответ: $2a - 2$.
   
   
5. Найдите площадь треугольника, образованного осями координат и прямой $y= -2x+2$
   Решение: Точки пересечения с осями: $(0;2)$ и $(1;0)$.
   Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$
   Ответ: 1.
   
   
6. Постройте график функции: $y= \begin{cases}x^2-3, & -2 \leq x<1 \\ 3x-5, & 1 \leq x<4 \end{cases}$
   Решение:
   На отрезке $[-2;1)$ график — парабола $y = x^2 - 3$ (вершина в $(0; -3)$, ветви вверх).
   На отрезке $[1;4)$ график — прямая $y = 3x -5$.
   Точки соединения: при $x=1$: $1 - 3 = -2$ и $3 \cdot 1 -5 = -2$.
   
   
7. Медиана длиной 6 см делит треугольник на два с периметрами 13 см и 16 см.
   Решение: Периметр исходного треугольника: $13 + 16 - 2 \cdot 6 = 17$ см.
   Ответ: 17 см.
   
   
8. Разность смежных углов составляет $\frac{1}{6}$ их суммы.
   Решение: Пусть углы $x$ и $180^{\circ} - x$, тогда $|2x - 180^{\circ}| = \frac{1}{6} \cdot 180^{\circ}$.
   $2x - 180^{\circ} = 30^{\circ}$ $\Rightarrow$ $x = 105^{\circ}$. Углы $105^{\circ}$ и $75^{\circ}$.
   Ответ: $105^{\circ}$ и $75^{\circ}$.
   
   
9. Два угла треугольника $22^{\circ}$ и $58^{\circ}$. Угол между высотой и биссектрисой:
   Решение: Третий угол: $100^{\circ}$. Высота образует угол $90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ}$ с основанием. Биссектриса делит угол $100^{\circ}$ на $50^{\circ}$ и $50^{\circ}$. Разница: $50^{\circ} - 32^{\circ} = 18^{\circ}$.
   Ответ: $\boxed{Б}$.
   
   
10. Двузначное число: $3(a + b) = 10a + b$, и $10a + b + 45 = 10b + a$.
    Решение: $7a = 2b$ $\Rightarrow$ $a=2$, $b=7$ (число 27). Проверка: $27 + 45 = 72$.
    Ответ: 27.