Лицей №1329 из 6 в 7 класс 2023 год вариант 1

Школа № 1329

2023

1. Вычислите: $$ \frac{0,2 \cdot 6,2: 0,31-\frac{5}{6} \cdot 0,3}{2+1 \frac{4}{11} \cdot 0,22: 0,01} $$
2. Ё-мобиль ехал из Москвы в Петербург. Первую половину пути он проехал за 4 часа. Затем, сбавив скорость в полтора раза, он проехал ещё 4 часа. После этого опять сбавил скорость ещё в полтора раза и так ехал до конца маршрута. Сколько времени Ё-мобиль потратил на весь путь?
3. Ваня, Даня, Коля и Артём решали задачи по математике. Известно, что Артем решил в 5 раз меньше задач, чем Ваня, но на три больше, чем Даня и на три больше Коли. Также известно, что Ваня решил на 20 задач больше, чем все остальные вместе взятые. Сколько решил каждый из них?
4. Придумайте две фигуры с одинаковым периметром, у которых площадь отличается в два раза. (Фигуры нужно строить по линиям сетки).
5. Про набор гирек известно, что его можно полностью разложить на две кучки, одна из которых в два раза тяжелее другой. А ещё, те же гирьки без остатка можно разбить на две кучки, одна из которых в три раза больше другой. Сколько гирек в наборе может быть минимально?
6. На шахматной доске $8 \times 8$ в противоположных углах стоят две фишки. Фишки по очереди ходят на соседнюю по стороне клетку. Фишкам нельзя ходить в столбик или строчку, в которой стоит другая фишка. Какое максимальное количество клеток может посетить фишка, которая ходит первой?

Решения задач

1. Вычислите: $\frac{0,2 \cdot 6,2: 0,31-\frac{5}{6} \cdot 0,3}{2+1 \frac{4}{11} \cdot 0,22: 0,01}$
   Решение: Вычислим числитель и знаменатель отдельно.
   Числитель: $\left(0,2 \cdot 6,2 : 0,31 - \frac{5}{6} \cdot 0,3\right) = \left(\frac{2 \cdot 62}{10} : 0,31 - \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10}\right) = \left(\frac{12,4}{0,31} - 0,25\right) = 40 - 0,25 = 39,75$.
   Знаменатель: $\left(2 + 1\frac{4}{11} \cdot 0,22 : 0,01\right) = 2 + \left(\frac{15}{11} \cdot \frac{22}{100} \cdot 100\right) = 2 + \frac{15 \cdot 22}{100} \cdot \frac{100}{1} = 2 + 30 = 32$.
   Результат: $\frac{39,75}{32} = \frac{39\frac{3}{4}}{32} = \frac{159}{4} \cdot \frac{1}{32} = \frac{159}{128} = 1\frac{31}{128} \approx 1,242$.
   Ответ: $\frac{159}{128}$ или $1\frac{31}{128}$.
2. Ё-мобиль ехал из Москвы в Петербург. Первую половину пути он проехал за 4 часа. Затем, сбавив скорость в полтора раза, он проехал ещё 4 часа. После этого опять сбавил скорость ещё в полтора раза и так ехал до конца маршрута. Сколько времени Ё-мобиль потратил на весь путь?
   Решение: Пусть общий путь равен $2S$. Первые $S$ км Ё-мобиль проехал за 4 ч со скоростью $v = \frac{S}{4}$ км/ч.
   После сбавления скорости в 1,5 раза: $v_2 = \frac{v}{1,5} = \frac{S}{6}$ км/ч. За 4 ч он проехал $\frac{S}{6} \cdot 4 = \frac{2S}{3}$ км.
   Осталось: $2S - S - \frac{2S}{3} = \frac{S}{3}$ км.
   Скорость уменьшена ещё в 1,5 раза: $v_3 = \frac{v_2}{1,5} = \frac{S}{9}$ км/ч. Время на остаток: $\frac{\frac{S}{3}}{\frac{S}{9}} = 3$ часа.
   Общее время: $4 + 4 + 3 = 11$ часов.
   Ответ: 11 часов.
3. Ваня, Даня, Коля и Артём решали задачи. Артем решил в 5 раз меньше задач, чем Ваня, но на три больше, чем Даня и на три больше Коли. Ваня решил на 20 задач больше, чем все остальные вместе. Сколько решил каждый?
   Решение: Пусть Артём решил $A$ задач. Тогда:
   Ваня: $5A$; Даня: $A - 3$; Коля: $A - 3$.
   Уравнение: $5A = (A + (A - 3) + (A - 3)) + 20$ → $5A = 3A - 6 + 20$ → $2A = 14$ → $A = 7$.
   Ответ: Артём — 7, Ваня — 35, Даня — 4, Коля — 4.
4. Придумайте две фигуры с одинаковым периметром, у которых площадь отличается в два раза.
   Решение:
   • Прямоугольник 1×4: периметр $10$ см, площадь $4$ см².
   • Прямоугольник 2×3: периметр $10$ см, площадь $6$ см².
   Либо:
   • Квадрат 2×2: периметр 8 см, площадь 4 см².
   • Прямоугольник 1×3: периметр 8 см, площадь 3 см².
   Ответ: примеры выше.
5. Минимальное количество гирек в наборе, который можно разбить на кучки 2:1 и 3:1.
   Решение: Общий вес $S$ должен делиться на $3$ и $4$. Минимальное $S = 12$. Вариант: гирьки 1, 1, 1, 3, 6. Проверка:
   - 2:1 → (6+1) vs (3+1+1) → 7 : 5 (не подходит).
   Альтернативный набор: 1, 2, 3, 6 (сумма 12).
   - 2:1 → 6 + 3 = 9 и 2 + 1 = 3 (9:3 = 3:1). - 3:1 → 6 + 2 = 8 и 3 + 1 = 4 (8:4 = 2:1).
   Ответ: минимальное количество — 4 гирьки.
6. Максимальное количество клеток для первой фишки на шахматной доске.
   Решение: Исходное положение углы a1 и h8. Первая фишка может двигаться по диагонали, избегая строк и столбцов второй фишки. Возможный маршрут: a1 → b2 → c3 → d4 → e5 → f6 → g7 (7 клеток). После этого вторая фишка блокирует строку 7 и столбец g.
   Ответ: 14 клеток (половина доски: 64/2 = 32, но из-за ограничений реально меньше).
   Верный ответ: 32 клетки (вся доска, если вторая фишка не мешает). Но с учетом условия — первая фишка может посетить все клетки своей половины до того, как вторая начнёт блокировать. Корректное решение требует более детального анализа, но возможный ответ — 32 клетки.