Лицей №1329 из 6 в 7 класс 2021 год вариант 1

Школа № 1329

2021

29.04.2021

1. Вычислите: \[ \left( 0{,}5 : 1{,}25 + \frac{7}{14} : \frac{3}{11} \right) \cdot 3 : \left(1{,}5 + \frac{1}{4}\right) : 18 \frac{1}{3} \]
2. Четыре внешне одинаковые монетки весят 1, 2, 3 и 4 грамма. Можно ли за четыре взвешивания на чашечных весах без гирь узнать, какая из них сколько весит?
3. По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 м. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет длина колонны, когда все машины проедут пост ДПС?
4. Разрежьте круг на четыре равные части, не используя прямолинейные разрезы.
   (равные части = совпадающие при наложении)
5. Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться — ещё через 15 минут зал был полон.
   За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?
6. На сколько нулей будет оканчиваться результат перемножения всех натуральных чисел от 1 до 100?
   \[ (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 99 \cdot 100) \]

Решения задач

1. Вычислите: \[ \left( 0{,}5 : 1{,}25 + \frac{7}{14} : \frac{3}{11} \right) \cdot 3 : \left(1{,}5 + \frac{1}{4}\right) : 18 \frac{1}{3} \] Решение: Переведем десятичные дроби в обыкновенные:
   $0,5 = \frac{1}{2}$, $\; 1,25 = \frac{5}{4}$, $\; 1,5 = \frac{3}{2}$, $\; 18 \frac{1}{3} = \frac{55}{3}$.
   Поэтапно:
   $0,5 : 1,25 = \frac{1}{2} : \frac{5}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.
   $\frac{7}{14} : \frac{3}{11} = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{3} = \frac{11}{6}$.
   Сумма: $\frac{2}{5} + \frac{11}{6} = \frac{12 + 55}{30} = \frac{67}{30}$.
   Умножение на 3: $\frac{67}{30} \cdot 3 = \frac{67}{10}$.
   Знаменатель: $1,5 + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.
   Деление: $\frac{67}{10} : \frac{7}{4} = \frac{67}{10} \cdot \frac{4}{7} = \frac{268}{70} = \frac{134}{35}$.
   Деление на $18 \frac{1}{3}$: $\frac{134}{35} : \frac{55}{3} = \frac{134}{35} \cdot \frac{3}{55} = \frac{402}{1925}$.
   Ответ: $\frac{402}{1925}$.
2. Можно ли за четыре взвешивания определить вес каждой из четырёх монет?
   Решение: Да, можно. Первое взвешивание: сравнить любые две монеты, например A и B. Это позволит разделить их на "тяжелее" и "легче". Второе взвешивание: сравнить монету A с монетой C. Третье и четвёртое взвешивания сравнивают остальные комбинации, анализируя относительный вес для определения всех значений. Например, зная, что A > B, A > C и т.д., можно последовательно сопоставить веса.
   Ответ: Да, можно.
3. Длина колонны машин после проезда поста ДПС.
   Решение: Пусть исходная скорость $v_1 = 60$ км/ч = $\frac{50}{3}$ м/с, новая скорость $v_2 = 40$ км/ч = $\frac{100}{9}$ м/с. Время проезда поста каждой машиной увеличивается, поэтому расстояние между машинами уменьшается пропорционально скорости. Новая длина колонны:
   $L = 300 \cdot \frac{40}{60} = 200$ м.
   Ответ: 200 метров.
4. Разрежьте круг на четыре равные части без прямолинейных разрезов.
   Решение: Один из возможных способов — провести разрезы по дугам окружностей с общим центром. Например, разделить круг на четыре фигуры, каждая из которых состоит из объединения сектора и полукольца. Одинаковость сохранится при вращении.
   Ответ: Например, с помощью дуговых разрезов, делящих круг на симметричные части.
5. Время опустошения зала с тремя эскалаторами.
   Решение: Пусть $V$ — объём зала, $x$ — скорость притока людей (ед./мин), $y$ — пропускная способность одного эскалатора (ед./мин). Имеем систему:
   $\begin{cases} 6(x - y) = \frac{V}{2} \\ 15(x - 2y) = \frac{V}{2} \end{cases}$
   Сложив уравнения, получаем: $6(x - y) + 15(x - 2y) = V$.
   Упрощаем: $21x - 36y = V$.
   Из первого уравнения: $V = 12(x - y)$.
   Подставляем: $21x - 36y = 12x - 12y \; \Rightarrow \; 9x = 24y \; \Rightarrow \; 3x = 8y$.
   Теперь ищем объём: $V = 12(x - y) = 12\left( \frac{8}{3}y - y \right) = 12 \cdot \frac{5}{3}y = 20y$.
   При трёх эскалаторах скорость опустошения: $3y - x = 3y - \frac{8}{3}y = \frac{1}{3}y$.
   Время опустошения: $\frac{V}{(3y - x)} = \frac{20y}{\frac{1}{3}y} = 60$ мин.
   Ответ: За 60 минут.
6. Количество нулей в конце произведения чисел от 1 до 100.
   Решение: Количество нулей определяется количеством пар множителей 2 и 5. В факториале множителей 2 больше, поэтому считаем количество множителей 5:
   $\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{125} \right\rfloor = 20 + 4 + 0 = 24$.
   Ответ: 24 нуля.