Лицей №1329 из 6 в 7 класс 2021 год

1. Вычислите: \[ \bigl(0,5 : 1,25 + \tfrac{7}{3} : 1\tfrac{4}{7} - \tfrac{3}{11}\bigr)\,\cdot 3 \;\big/\; \bigl(1,5 + \tfrac{1}{4}\bigr) : 18\tfrac{1}{3}. \]
2. Четыре внешне одинаковые монетки весят 1, 2, 3 и 4 грамма. Можно ли за четыре взвешивания на чашечных весах без гирь узнать, какая из них сколько весит?
3. По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 м. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина сбрасывает скорость до 40 км/ч. Какова будет длина колонны, когда все машины проедут пост ДПС?
4. Разрежьте круг на четыре равные части, не используя прямолинейные разрезы.
   (равные части = совпадающие при наложении)
5. Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда, ещё через включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться – ещё через 15 минут зал был полон.
   За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?
6. На сколько нулей будет оканчиваться результат перемножения всех натуральных чисел от 1 до 100?
   (1 · 2 · 3 · 4 · 5 · … · 99 · 100)

Решения задач

1. Вычислите: \[ \bigl(0,5 : 1,25 + \tfrac{7}{3} : 1\tfrac{4}{7} - \tfrac{3}{11}\bigr)\,\cdot 3 \;\big/\; \bigl(1,5 + \tfrac{1}{4}\bigr) : 18\tfrac{1}{3}. \]
   Решение: Переводим все значения в обыкновенные дроби:
   $\left( \dfrac{0,5}{1,25} + \dfrac{\tfrac{7}{3}}{\tfrac{11}{7}} - \dfrac{3}{11} \right) \cdot 3 \;/\; \dfrac{1,5 + \tfrac{1}{4}}{\tfrac{55}{3}}$
   Упрощаем составляющие:
   $\dfrac{0,5}{1,25} = \dfrac{2}{5},\quad \dfrac{\tfrac{7}{3}}{\tfrac{11}{7}} = \dfrac{49}{33},\quad 1,5 + 0,25 = \dfrac{7}{4},\quad 18\tfrac{1}{3} = \dfrac{55}{3}$
   Числитель:
   $\left( \dfrac{2}{5} + \dfrac{49}{33} - \dfrac{3}{11} \right) \cdot 3 = \dfrac{266}{55} \cdot 3 = \dfrac{798}{165} = \dfrac{266}{55}$
   Знаменатель:
   $\dfrac{7}{4} : \dfrac{55}{3} = \dfrac{21}{220}$
   Итог:
   $\dfrac{\tfrac{266}{55}}{\tfrac{21}{220}} = \dfrac{266}{55} \cdot \dfrac{220}{21} = \dfrac{152}{3} = 50\tfrac{2}{3}$
   Ответ: $50\tfrac{2}{3}$.
   
   
   
2. Четыре внешне одинаковые монетки весят 1, 2, 3 и 4 грамма. Можно ли за четыре взвешивания на чашечных весах без гирь узнать, какая из них сколько весит?
   Решение: Да, можно. Возможная стратегия:
   1. Взвешиваем M1 и M2. Определяем тяжелее (H) и легче (L) монету.
   2. Взвешиваем H и M3. Если H тяжелее: предыдущий H весит 4 г; если веса равны, M3 весит 4 г, а H — 3 г.
   3. Аналогичным сопоставлением определяем вес остальных монет. Всего за четыре взвешивания можно однозначно распределить веса.
   Ответ: Да.
   
   
   
3. По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин длиной 300 м. При сбросе скорости до 40 км/ч перед ДПС длина колонны уменьшится пропорционально скорости: $300 \cdot \tfrac{40}{60} = 200$ м.
   Ответ: 200 м.
   
   
   
4. Разрежьте круг на четыре равные части, не используя прямолинейные разрезы.
   Решение: Провести четыре дуговых разреза с центрами на окружности, радиусами равными радиусу исходного круга. Каждая часть — сектор с углом 90°, совпадающий при повороте.
   Ответ: См. решение.
   
   
   
5. Задача о заполнении зала метро:
   Скорость входа людей: $r$, спуск эскалаторов: $s_1$, $s_2$, $s_3$. Из условий:
   $6(r - s_1) = \tfrac{C}{2},\quad 15(r - 2s_1) = \tfrac{C}{2}$. Решаем систему:
   $C = \tfrac{15r}{2},\quad s_1 = \tfrac{3r}{8}$. Три эскалатора дают скорость $3s_1 = \tfrac{9r}{8}$.
   Время освобождения зала: $\tfrac{15r/2}{(9r/8 - r)} = 60$ минут.
   Ответ: 60 минут.
   
   
   
6. Количество нулей в $100!$: Количество множителей 5: $\tfrac{100}{5} + \tfrac{100}{25} = 20 + 4 = 24$.
   Ответ: 24.