Лицей №1329 из 5 в 6 класс 2020 год вариант 1

Школа № 1329

2020

1. Приведите пример двузначного числа, у которого произведение цифр, умноженное на сумму цифр, равно 84.
2. Бабушка с внуком пошли в кино. Через 10 минут, когда они прошли ровно треть пути, бабушка вспомнила, что забыла билеты и отправила внука за ними. Внук прибежал домой, схватил билеты и побежал в кино. В итоге он добежал до кинотеатра на 10 минут раньше бабушки. Во сколько раз внук бегает быстрее, чем ходит бабушка?
3. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 апельсинов, причем каждому досталось хотя бы по одному апельсину. Винни-Пух съел больше, чем каждый из остальных; Сова и Кролик съели вместе 45 апельсинов. Сколько апельсинов съел Пятачок?
4. На острове 1000 деревень, в каждой из которых 99 жителей. Каждый житель острова либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. При этом известно, что на острове ровно 54054 рыцаря. В один прекрасный день каждому жителю задали вопрос: "Кого в вашей деревне больше: рыцарей или лжецов?" Оказалось, что в каждой деревне на этот вопрос 66 человек ответили, что в деревне больше рыцарей, а 33 - что в деревне больше лжецов. Сколько на острове деревень, в которых рыцарей больше, чем лжецов?
5. 10 команд играют турнир. В некоторый момент оказалось, что любые две команды сыграли между собой не более, чем по одному разу, только "Металлург" и "Локомотив" сыграли дважды. При этом каждая команда сыграла хотя бы один матч. Могло ли так случиться, что в этот момент все команды сыграли различное число игр?
6. Каждый из семи фальшивомонетчиков изготовил по 31 монете: 20 монет по 6 рублей, 10 монет - по 1 рублю и 1 монету в 5 рублей. Любые двое могут меняться монетами так, чтобы у каждого оставалась такая же сумма денег. Могут ли в результате таких обменов все монеты по 1 рублю указаться у одного фальшивомонет чика?

Решения задач

1. Приведите пример двузначного числа, у которого произведение цифр, умноженное на сумму цифр, равно 84.
   Решение: Пусть двузначное число $\overline{ab} = 10a + b$. По условию $a \cdot b \cdot (a + b) = 84$. Подбором находим, что для $a=4$, $b=3$: $4 \cdot 3 \cdot (4 + 3) = 12 \cdot 7 = 84$.
   Ответ: 43.
2. Бабушка с внуком пошли в кино. Через 10 минут, когда они прошли ровно треть пути, бабушка вспомнила, что забыла билеты и отправила внука за ними. Внук прибежал домой, схватил билеты и побежал в кино. В итоге он добежал до кинотеатра на 10 минут раньше бабушки. Во сколько раз внук бегает быстрее, чем ходит бабушка?
   Решение: Пусть весь путь $3S$, а скорость бабушки $v$. За 10 минут они прошли $S=v \cdot 10$, значит весь путь занимает $30$ минут при такой скорости.
   После отправки внука, бабушке осталось пройти $2S$, что займёт $20$ минут. Внук должен пробежать домой ($S$), затем в кинотеатр ($3S$). Общее время внука: $\frac{S}{u} + \frac{3S}{u} = \frac{4S}{u}$, где $u$ — скорость внука. По условию это время равно $20 -10 =10$ минут.
   Сравнивая $3S = v \cdot 30$ и $\frac{4S}{u} =10$, получаем $u=4v$.
   Ответ: В 4 раза.
3. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 апельсинов, причем каждому досталось хотя бы по одному апельсину. Винни-Пух съел больше, чем каждый из остальных; Сова и Кролик съели вместе 45 апельсинов. Сколько апельсинов съел Пятачок?
   Решение: Сова+Кролик =45 ⇒ Винни+Пятачок =25. Поскольку Винни > Сова и Винни > Кролик, максимальная сумма Сова+Кролик=45 требует, чтобы наибольший возможный апельсин у Винни был как минимум 23 (так как Сова или Кролик могут съесть не более 22). Но тогда Пятачку остаётся 25-23=2. Однако необходимо проверить все возможные комбинации. Например, если Сова съела 22, Кролик 23 ⇒ Винни должен съесть ≥24 ⇒ Пятачок=1.
   Ответ: 1.
4. На острове 1000 деревень, в каждой из которых 99 жителей. Каждый житель острова либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. При этом известно, что на острове ровно 54054 рыцаря. В один прекрасный день каждому жителю задали вопрос: "Кого в вашей деревне больше: рыцарей или лжецов?" Оказалось, что в каждой деревне на этот вопрос 66 человек ответили, что в деревне больше рыцарей, а 33 - что в деревне больше лжецов. Сколько на острове деревень, в которых рыцарей больше, чем лжецов?
   Решение: - В деревне, где рыцарей 66: рыцари говорят правду (66 ответов "рыцарей больше"), лжецы лгут (33 ответа "рыцарей больше") ⇒ совпадает с условиями. - В деревне, где лжецов > рыцарей: лжецы лгут и отвечают "рыцарей больше". Число ответов "рыцарей больше" = число лжецов =99−r, где r — число рыцарей. По условию таких ответов 66 ⇒ рыцарей r=33 ⇒ суммарно рыцарей в таких деревнях 33·(1000−x). Общее число рыцарей: 66x +33(1000−x)=54054 ⇒x=638.
   Ответ: 638.
5. 10 команд играют турнир. В некоторый момент оказалось, что любые две команды сыграли между собой не более, чем по одному разу, только "Металлург" и "Локомотив" сыграли дважды. При этом каждая команда сыграла хотя бы один матч. Могло ли так случиться, что в этот момент все команды сыграли различное число игр?
   Решение: При 10 командах возможное число игр у команды: от 1 до 9 (т.к. с другими 9 командами можно сыграть по 1 разу). Однако "Металлург" и "Локомотив" сыграли 2 матча. Если их количество игр будет на 1 больше, то возможно распределение количества от 1 до 10 для других команд. Сумма игр всех команд должна быть четной (так как каждый матч между двумя командами). Но дополнительный матч добавляет 1 к сумме. Таким образом, распределение возможно.
   Ответ: Да, могло.
6. Каждый из семи фальшивомонетчиков изготовил по 31 монете: 20 монет по 6 рублей, 10 монет - по 1 рублю и 1 монету в 5 рублей. Любые двое могут меняться монетами так, чтобы у каждого оставалась такая же сумма денег. Могут ли в результате таких обменов все монеты по 1 рублю оказаться у одного фальшивомонетчика?
   Решение: Изначально каждый имеет сумму: 20·6 +10·1 +1·5=135 руб. После перераспределения у одного фальшивомонетчика будет 7·10=70 монет по 1 рублю (сумма 70), а также монеты 5 и 6 рублей, сумма которых должна составлять 135−70=65. Уравнение:5a +6b=65. Подходит a=1, b=10 ⇒ 1·5 +10·6 =65. Следовательно, возможно.
   Ответ: Да, могут.