Лицей №1329 из 5 в 6 класс 2019 год вариант 1

Школа № 1329

2019

30.03.2019

1. Вычислите (все вычисления должны быть в чистовике):
   a. \( \frac{5}{12} + \frac{1}{3} : \frac{5}{8} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6} \)
   b. \( (2{,}5 + 1{,}2 : 1{,}5) : (0{,}512 - 0{,}312) \)
   
   
2. Решите уравнение: \( -2x^2 + 17x - 14 = x - 500 = 17408 : 16 \)
   
   
3. Найдите сумму наименьшего и наибольшего натуральных значений \( x \), при которых верно неравенство: \[ \frac{3}{5} < \frac{x}{6} < \frac{5}{4} \]
   
   
4. Найдите объём параллелепипеда, если известно, что его длина $3{,}9$ дм, сумма длины и высоты 46 см. Ширина составляет \( \frac{1}{3} \) длины параллелепипеда.
   
   
5. Банка с мёдом весит 750 г. Та же банка с керосином весит 450 г. Керосин легче мёда в 3 раза. Сколько граммов весит пустая банка?
   
   
6. Из двух городов одновременно выехали навстречу друг другу два автомобиля. Скорость одного из них $82{,}5$ км/ч, что составляет \( \frac{5}{7} \) скорости первого. Автомобили встретились через 50 минут. Через сколько минут от начала движения расстояние между двумя автомобилями было равно 33 км?
   
   
7. Бассейн при одновременном включении трёх труб заполняется за 4 часа. Через одну первую трубу — за 8 часов, через одну вторую — за 12 часов. За сколько может наполняться бассейн через одну третью трубу?
   
   
8. Мастер по игре шахмат, не считая некоторое количество деталей, по окончании партии обнаружил, что у него осталось 26 фигур. Оказалось, что он ошибся при подсчёте и вместо трёх, что шли подряд, дважды пересчитал одну. Сколько всего было деталей у ученика и мастера?
   
   
9. На доске написано число. Каждую минуту число на доске уменьшают на 13 или 8, в результате получают прибавляют цифру к списку, а число на доске заменяют суммой записанных на доске вычитаемых (те, что оставляют 0 в остатке — с доски стирают). После 11 минут число на доске оказалось 888. Вопрос: с каким числом начали?
   
   
10. Каждому ребёнку в классе выдали разные карточки с одинаковыми словами: ПА и РА (то есть у каждого ребёнка одна карточка с ПА, другая с РА). Оказалось, что один ребёнок не может сложить слово ПАРА, но может слово САРА; при этом неизвестно, кто именно. Пары детей, которые могут сложить ПАРА и САРА: (Аня и Боря), (Витя и Света), (Саша и Рома). Вопрос: кто не может сложить ПАРА? Каких детей в классе больше: тех, кто может сложить слово ПАРА или тех, кто может сложить слово САРА?

Решения задач

1. 1. Вычислить: $\frac{5}{12} + \frac{1}{3} : \frac{5}{8} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6}$
      Решение:
      $\frac{5}{12} + \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{5} - \frac{5}{18} = \frac{5}{12} + \frac{8}{15} - \frac{5}{18} = \frac{75}{180} + \frac{96}{180} - \frac{50}{180} = \frac{121}{180}$
      Ответ: $\frac{121}{180}$.
   2. Вычислить: $(2{,}5 + 1{,}2 : 1{,}5) : (0{,}512 - 0{,}312)$
      Решение:
      $(2,5 + 0,8) : 0,2 = 3,3 : 0,2 = 16,5$
      Ответ: 16,5.
2. Решите уравнение: $-2x^2 +17x -14 = x -500 =17408 :16$
   Решение:
   $17408 :16 = 1088$
   Очевидная опечатка в условии уравнения. Решим отдельно:
   $-2x^2 +17x -14 =1088 -500 = 588$,
   $-2x^2 +17x -602 =0$
   $D = 289 +4816 =5105$ корни не являются рациональными.
   Возможно, условие записано ошибочно. Предположим правильное уравнение: $-2x^2+17x-14=588$
   $-2x^2+17x-602=0$
   Ответ: Указанные корни нецелые, требуется проверка исходного уравнения.
3. Найдите сумму наименьшего и наибольшего натуральных значений $x$: $\frac{3}{5} < \frac{x}{6} < \frac{5}{4}$
   Решение:
   Умножим все части на 6:
   $\frac{18}{5} < x < \frac{30}{4}$, т.е. $3,6 < x <7,5$
   Натуральные значения x: 4,5,6,7.
   Сумма: $4 +7 =11$.
   Ответ: 11.
4. Объём параллелепипеда: длина 3,9 дм =39 см. Сумма длины и высоты 46 см: $39 + h =46 \Rightarrow h =7$ см. Ширина = $\frac{1}{3} \cdot39 =13$ см.
   Объём: $39 \times13 \times7 =3549$ см³.
   Ответ: 3549 см³.
5. Пусть банка весит $x$ г. Тогда мёд: $750-x$ г, керосин: $450 -x$ г. Мёд тяжелее в 3 раза:
   $750 -x =3(450 -x) \Rightarrow750 -x =1350-3x \Rightarrow2x =600 \Rightarrow x=300$
   Ответ: 300 г.
6. Скорость второго автомобиля: $82,5 : \frac{5}{7} =115,5$ км/ч. Суммарная скорость: 198 км/ч.
   Первоначально расстояние: $198 \cdot \frac{50}{60}=165$ км.
   В момент сокращения до 33 км: $\frac{165-33}{198} \cdot60 =40$ минут.
   Ответ: 40 мин.
7. Скорость работы третьей трубы: $\frac{1}{4} - \frac{1}{8} -\frac{1}{12} =\frac{3-1,5 -1}{12} =\frac{0,5}{12} =\frac{1}{24}$, значит третья труба — 24 часа.
   Ответ: 24 часа.
8. Если вместо трёх деталей две раза посчитали одну, то общая ошибка: $3 -1=2$ детали. Остаток 26, значит изначально: $26 +2 =28$.
   Ответ: 28 фигур.
9. Обратная операция: каждую минуту добавляем последнее вычитание к сумме. Но после 11 операций суммарное вычитание составит 888. Если минимум вычитаний: 13 и 8. Невозможно однозначно восстановить исходное число без дополнительных данных. Возможное решение — пусть N — начальное число, тогда N =888 +a*13 +b*8, где a +b=11. Необходимо подобрать a и b так, чтобы 13a +8b=888 -Невозможно суммарно при 11 слагаемых достичь 888. Таким образом, задача некорректна.
   Ответ: Неоднозначное условие, требуется уточнение.
10. Решение:
    Кто-то из детей имеет буквы ПА и РА, но не может сложить ПАРА (нужно две буквы). Значит, у этого ребёнка одна карточка. Но по условию у каждого по две карточки. Возможная ошибка, что один ребёнок имеет две карточки ПА или две РА. Анон проблемы условие. Предположение: если ребёнок имел карточку ПА и РА, то других сочетаний не хватает. Ответ: тот, у кого две карточки ПА или две РА, а пар меньше возможных сочетаний.
    Ответ: Например, Рома. Больше тех, кто может сложить САРА.