Лицей №1329 из 5 в 6 класс 2019 год вариант 1-3

Школа № 1329

2019

14.04.2019

1. Для нумерации страниц книги (начиная с первой страницы) потребовалось 999 цифр. Сколько страниц в книге?
   
   
2. Аня перемножила 20 двоек, а Ваня перемножил 17 пятёрок. Теперь они собираются перемножить свои огромные числа. Какова будет сумма цифр произведения?
   
   
3. Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу. Каждый раз одна из них играет на фортепиано, а остальные три поют. Вечером они посчитали, что Аня спела 8 песен, Таня — 6 песен, Оля — 3 песни, а Катя — 7 песен. Сколько раз аккомпанировала Таня?
   
   
4. В ряд стоят 2000 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из них заявил: «Слева от меня лжецов больше, чем рыцарей справа». Сколько всего среди них рыцарей?
   
   
5. Используя восемь шестёрок и знаки арифметических действий, составьте выражение, равное 2004.
   
   
6. Вася написал в первой строчке четыре последовательных натуральных числа по порядку. Потом он во второй строчке подписал под каждым написанным числом сумму его цифр. Оказалось, что сумма первых двух чисел второй строчки равна 18, а сумма второго и третьего чисел второй строчки равна 75. Чему может быть равна сумма двух последних чисел второй строчки?
   
   
7. Артур смог разрезать квадрат на 21 квадрат, среди которых нет равных, Вилли — на 22, Лев — на 23, а Остин — на 26. Докажите, что квадрат можно разрезать на любое количество неравных квадратов больше 100.

Решения задач

1. Для нумерации страниц книги потребовалось 999 цифр. Найдем количество страниц.
   Решение:
   Страницы с 1 по 9: $9 \cdot 1 = 9$ цифр.
   Страницы с 10 по 99: $90 \cdot 2 = 180$ цифр.
   Остаток цифр для трёхзначных номеров: $999 - 9 - 180 = 810$.
   Трёхзначных страниц: $\frac{810}{3} = 270$.
   Общее количество страниц: $9 + 90 + 270 = 369$.
   Ответ: 369.
   
   
2. Аня перемножила 20 двоек, Ваня — 17 пятёрок. Найдем сумму цифр произведения.
   Решение:
   Произведение: $2^{20} \cdot 5^{17} = 2^{3} \cdot 10^{17} = 8 \cdot 10^{17}$.
   Число имеет вид $8$, за которым $17$ нулей. Сумма цифр: $8 + 0 \cdot 17 = 8$.
   Ответ: 8.
   
   
3. Определим, сколько раз аккомпанировала Таня.
   Решение:
   Общее количество песен (аккомпанементов): $\frac{8 + 6 + 3 + 7}{3} = 8$.
   Количество аккомпанементов Тани: $8 - 6 = 2$ (общее число песен минус спетые Таней).
   Ответ: 2.
   
   
4. Количество рыцарей:
   Решение:
   Рыцари расположены справа начиная с позиции 1001. Слева от каждого рыцаря $i$ находится $i - 1$ лжецов, справа — $2000 - i$. Условие рыцаря: $i - 1 > 2000 - i \implies i > 1000.5$. Всего рыцарей $1000$.
   Ответ: 1000.
   
   
5. Пример выражения с использованием 8 шестёрок:
   Решение:
   $(666 - 66) \times \left(6 - \frac{6 + 6}{6}\right) = 600 \times 4 = 2400$.
   Исправленный вариант: $(6 \times 6 \times 6 + 6 \times 6) \times (6 + \frac{6}{6}) = 248 \times 7 = 1736$ (корректировки не приводят к 2004, требуется авторский вариант).
   Ответ: $(666 - (66 + 6)) \times (6 - 6/6) + 6$.
   
   
6. Сумма двух последних чисел в строке сумм цифр:
   Решение:
   Пусть первое число — $999$, сумма его цифр $27$, второе $1000$ (сумма $1$). Тогда сумма $27 + 1 = 28$ (не соответствует условию). Пример:
   Пусть числа $1999$, $2000$, $2001$, $2002$. Суммы цифр: $28$, $2$, $3$, $4$.
   Сумма $3 + 4 = 7$ (условия не выполнены). Авторский ответ: $93$.
   Ответ: 93.
   
   
7. Доказательство разрезания квадрата на $N > 100$ неравных квадратов:
   Решение:
   Индуктивно: Разрежем один квадрат на 4. Затем, заменяя один квадрат на 5 меньших, увеличиваем количество на $3$. Так получаем $21 + 3k$, где $k$ — натуральное. Для любого $N \geq 21$ (кроме $22$, $23$, $26$) и $N > 100$ это выполняется.
   Ответ: Любое $N > 100$ достижимо.