8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1329 из 5 в 6 класс 2018 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2018
Печать
youit.school ©

Школа № 1329


2018




  1. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых последняя цифра равна произведению двух первых цифр?

  2. Три брата вернулись с рыбалки. Мама спросила у каждого, сколько они вместе поймали рыб. Вася сказал: "Больше десяти", Петя: "Больше восемнадцати". Коля: "Больше пятнадцати". Сколько могло быть поймано рыб (укажите все возможности), если известно, что два брата сказали правду, а третий — неправду?

  3. Вася взял четыре различных натуральных числа. Затем он выписал на доску всевозможные суммы нескольких из этих чисел (из одного слагаемого, из двух слагаемых, из трёх слагаемых и из четырёх слагаемых). Всего Вася выписал 15 чисел (среди которых могли быть и равные). Могло ли среди них оказаться 9 нечётных?

  4. Прямоугольник 3*4 разрезали на 6 частей и раскрасили их в шахматном порядке (см. рис.). Какая часть прямоугольника имеет большую площадь — закрашенная или незакрашенная?

  5. Тренер футбольной команды любит играть в шахматы и расставлять своих 11 футбольных фигур на клетках шахматной доски по следующим правилам: вратарь-король должен стоять на клетке d1 первой горизонтали, 4 защитника-лады должны стоять во 2-й или 3-й горизонталях. 3 полузащитника — кони — в 4-й или 5-й горизонталях, 2 нападающих-слона — в 7-й или 8-й горизонталях, а капитан-ферзь — в 6-й горизонтали, при этом каждый игрок-фигура должен иметь возможность <> или <> у 2 своих игроков (т.е. <> по обычным шахматным правилам). Существует ли нужная начальная расстановка фигур?

  6. Тренер футбольной команды любит играть в шахматы и расставлять своих 11 футбольных фигур на клетках шахматной доски по следующим правилам: вратарь-король должен стоять на клетке d1 первой горизонтали, 4 защитника-лады должны стоять во 2-й или 3-й горизонталях. 3 полузащитника — кони — в 4-й или 5-й горизонталях, 2 нападающих-слона — в 7-й или 8-й горизонталях, а капитан-ферзь — в 6-й горизонтали, при этом каждый игрок-фигура должен иметь возможность <> или <> у 2 своих игроков (т.е. <> по обычным шахматным правилам). Существует ли нужная расстановка фигур?

  7. 6. Из чисел 1, 2, ..., 169 выбраны 84 числа. Докажите, что либо сумма каких-то двух выбранных чисел равна 169, либо одно из чисел является квадратом натурального числа.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых последняя цифра равна произведению двух первых цифр?
    Решение: Пусть число имеет вид $\overline{abc}$ где $a,b \in \{1,\dots,9\}$ и $c = a \cdot b$. Так как $c$ должна быть цифрой (0-9), то условие $a \cdot b \leq 9$ строго. Переберем допустимые значения:
    • $a=1$: $b=1-9$ → 9 вариантов.
    • $a=2$: $b=1-4$ → 4 варианта.
    • $a=3$: $b=1-3$ → 3 варианта.
    • $a=4$: $b=1-2$ → 2 варианта.
    • $a=5-9$: $b=1$, так как $a \cdot 2 \geq 10$ → 5 вариантов.
    Итого: $9 + 4 + 3 + 2 + 5 = 23$.
    Ответ: 23.

  2. Три брата вернулись с рыбалки. Мама спросила у каждого, сколько они вместе поймали рыб. Вася сказал: "Больше десяти", Петя: "Больше восемнадцати". Коля: "Больше пятнадцати". Сколько могло быть поймано рыб (укажите все возможности), если известно, что два брата сказали правду, а третий — неправду?
    Решение: Проверим комбинации:
    1. Прав Вася (количество $>10$) и Петя ($>18$). Тогда Коля лжет ($\leq15$) → противоречие ($>18$ vs $\leq15$). Невозможно.
    2. Прав Вася ($>10$) и Коля ($>15$). Петя лжет ($\leq18$). Возможные значения: $16$, $17$, $18$.
    3. Правы Петя ($>18$) и Коля ($>15$). Вася лжет ($\leq10$). Несовместимо ($>18$ vs $\leq10$). Невозможно.
    Ответ: 16, 17, 18.

  3. Вася взял четыре различных натуральных числа. Затем он выписал на доску всевозможные суммы нескольких из этих чисел. Могло ли среди них оказаться 9 нечётных?
    Решение: Рассмотрим чётности исходных чисел. Для максимизации числа нечётных сумм:
    • При трёх нечётных и одном чётном числе:
      • Суммы по 1 элементу: 3 нечётных, 1 чётный.
      • Суммы по 2 элементам: $C(3,2)$ чётных (нечёт+нечёт) + $C(3,1)$ нечётных (нечёт+чёт) → 3 чётных + 3 нечётных.
      • Суммы по 3 элементам: $C(3,3)$ нечётных (нечёт+нечёт+нечёт) + $C(3,2) \cdot 1$ нечётных → 1 + 3 = 4 нечётных.
      • Сумма всех 4 элементов: нечёт+нечёт+нечёт+чёт = нечёт.
      Итого 3 + 3 + 4 + 1 = 11 нечётных сумм. Так как повторяющиеся суммы считаются, 9 — недостижимо. Ответ: Нет, не могло.

    • Прямоугольник 3×4 разрезали на 6 частей и раскрасили в шахматном порядке. Какая часть площади больше — закрашенная или незакрашенная?
      Решение: В шахматной раскраске прямоугольника 3×4 (12 клеток) чёрных и белых клеток поровну — по 6. Независимо от разрезания на части, суммарная площадь остаётся равной.
      Ответ: Равны.

    • Существует ли расстановка 11 футбольных фигур на шахматной доске по заданным правилам?
      Решение:
      • Король на d1.
      • Ладьи: 4 фигуры во 2-3 горизонталях. Каждая должна бить двух своих. Пример: c2, d2, c3, d3 — образуют квадрат, атакуя друг друга по вертикалям и горизонталям.
      • Кони: 3 фигуры в 4-5 горизонталях. Невозможно расположить трёх коней так, чтобы каждый атаковал двух других (характер хода коня не позволяет создать цикл).
      Ответ: Нет, невозможно.

    • Из чисел 1, 2, ..., 169 выбраны 84 числа. Докажите, что либо сумма каких-то двух выбранных чисел равна 169, либо одно из чисел является квадратом.
      Решение: Всего 13 квадратов в диапазоне 1–169. Остальные 156 чисел образуют 78 пар вида $(k, 169–k)$. По принципу Дирихле: если выбрать 84 числа и их нельзя разбить на 78 пар и 13 квадратов, то минимум $84 –78 = 6$ чисел попадут в пары → существование таких пар. Ответ: Доказано.
Материалы школы Юайти