Лицей №1329 из 5 в 6 класс 2017 год вариант 1

Школа № 1329

2017

16.04.2017

1. Светлячки Тим и Дина вместе с Лунтиком собирали пушинки. Тим собрал на 8 больше, чем Дина, а Лунтик — в 2 раза больше, чем Тим и Дина вместе. Всего они собрали 54 пушинки. Сколько собрал каждый?
   
   
2. Сколько оборотов делает секундная стрелка, пока минутная делает полный оборот?
   
   
3. Решите уравнение: \[ 48 - 7 \cdot (48 - x) = 20 \]
   
   
4. Мальчик может исписать всю доску мелом за 10 минут, девочка — за 30 минут. За сколько минут справятся с этой задачей 3 девочки и 4 мальчика?
   
   
5. В прямоугольнике \(ABCD\), \(K\) — середина стороны \(AB\), а \(M\) — середина \(CD\). Известно, что периметр \(ABCD\) на 19 см больше периметра \(BCAK\). Найдите длину \(AB\).
   
   
6. Сегодняшнюю дату можно записать как 16.04.2017. Напишите ближайшую к нам в прошлом дату, которая записывается восемью различными цифрами.
   
   
7. Тверь расположена на прямой трассе E105 между Санкт-Петербургом и Москвой. Расстояние от Твери до Москвы — 180 км. Из Твери в Санкт-Петербург выезжает велосипедист. Одновременно с ним из Москвы в Санкт-Петербург выезжает мотоциклист, скорость которого в 10 раз больше скорости велосипедиста. На каком расстоянии от Москвы произойдёт встреча велосипедиста и мотоциклиста?
   
   
8. На далёкой планете обитают два вида разумных существ: у одних — 1 голова, 5 рук и 3 ноги, а у других — 2 руки, 4 ноги и 6 голов. В Бюро Межпланетных Контактов планеты работают несколько сотрудников, на которых приходится 220 рук и голов. Сколько всего ног у сотрудников бюро?

\vspace{1em} Во всех задачах нужно записать не только ответ, но и полное решение.

\vspace{0.5em} Время выполнения работы — 90 минут.

Решения задач

1. Светлячки Тим и Дина вместе с Лунтиком собирали пушинки. Тим собрал на 8 больше, чем Дина, а Лунтик — в 2 раза больше, чем Тим и Дина вместе. Всего они собрали 54 пушинки. Сколько собрал каждый?
   Решение: Пусть Дина собрала $x$ пушинок, тогда Тим собрал $x + 8$ пушинок. Вместе они собрали $x + (x + 8) = 2x + 8$ пушинок. Лунтик собрал $2 \cdot (2x + 8) = 4x + 16$ пушинок. Всего: $(2x + 8) + (4x + 16) = 6x + 24 = 54$. Решаем уравнение:
   $6x = 30 \Rightarrow x = 5$
   Дима: $5$ пушинок, Тим: $5 + 8 = 13$ пушинок, Лунтик: $4 \cdot 5 + 16 = 36$ пушинок.
   Ответ: Дина — 5, Тим — 13, Лунтик — 36.
   
   
2. Сколько оборотов делает секундная стрелка, пока минутная делает полный оборот?
   Решение: За час ($60$ минут) минутная стрелка делает $1$ оборот. За это время секундная стрелка делает $60$ полных оборотов (по одному обороту в минуту).
   Ответ: 60 оборотов.
   
   
3. Решите уравнение: $48 - 7 \cdot (48 - x) = 20$
   Решение:
   $48 - 7 \cdot (48 - x) = 20$
   $ -7 \cdot (48 - x) = -28$
   $48 - x = 4$
   $x = 48 - 4 = 44$
   Ответ: 44.
   
   
4. Мальчик может исписать всю доску мелом за 10 минут, девочка — за 30 минут. За сколько минут справятся с этой задачей 3 девочки и 4 мальчика?
   Решение: Производительность мальчика: $\frac{1}{10}$ доски/мин, девочки: $\frac{1}{30}$ доски/мин. Совместная производительность:
   $4 \cdot \frac{1}{10} + 3 \cdot \frac{1}{30} = \frac{4}{10} + \frac{3}{30} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} = \frac{3}{5}$ доски/мин.
   Время: $\frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$ мин ≈ 1 мин 40 сек.
   Ответ: За 2 минуты (округляем до целых по смыслу задачи).
   
   
5. В прямоугольнике $ABCD$, $K$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина $CD$. Известно, что периметр $ABCD$ на 19 см больше периметра $BCAK$. Найдите длину $AB$.
   Решение: Пусть $AB = L$, $BC = W$. Периметр $ABCD$: $2(L + W)$. Периметр $BCAK$:
   $BC + CA + AK + KB = W + \sqrt{L^2 + W^2} + \frac{L}{2} + \frac{L}{2} = W + \sqrt{L^2 + W^2} + L$.
   Разность периметров:
   $2(L + W) - (L + W + \sqrt{L^2 + W^2}) = L + W - \sqrt{L^2 + W^2} = 19$.
   Проверяя возможные значения, находим $L = 28.5$ см.
   Ответ: Длина $AB$ — 28.5 см.
   
   
6. Сегодняшнюю дату можно записать как 16.04.2017. Напишите ближайшую к нам в прошлом дату, которая записывается восемью различными цифрами.
   Решение: Перебирая ближайшие даты, находим 23.05.1987: цифры 2, 3, 0, 5, 1, 9, 8, 7 — уникальны.
   Ответ: 23.05.1987.
   
   
7. Велосипедист и мотоциклист стартовали одновременно из Твери и Москвы (расстояние 180 км). Скорость мотоциклиста в 10 раз больше. На каком расстоянии от Москвы произойдет встреча?
   Решение: Относительная скорость: $10v - v = 9v$. Время до встречи: $\frac{180}{9v} = \frac{20}{v}$.
   Путь мотоциклиста: $10v \cdot \frac{20}{v} = 200$ км.
   Ответ: 200 км от Москвы.
   
   
8. В бюро работают сотрудники двух видов. Общее количество голов и рук — 220. Найти общее количество ног.
   Решение: Пусть $x$ — количество существ первого типа, $y$ — второго. Для голов и рук:
   $(1 + 5)x + (6 + 2)y = 220 \Rightarrow 6x + 8y = 220$.
   Упрощаем: $3x + 4y = 110$. Сумма ног: $3x + 4y = 110$.
   Ответ: 110 ног.