Лицей №1329 из 5 в 6 класс 2017 год вариант 1

Школа № 1329

2017

09.03.2017

1. На праздничный ужин 31 декабря за столом собрались гости, папа, мама и старшие сёстры, а младший брат Васенька забрался под стол и пилит одну из трёх ножек стола со скоростью 3 метра в час. Через сколько минут закончится праздничный ужин, если толщина ножки стола 10 cm ?
2. Ранним утром 1 января, пока родители спали, Коля и Толя съели 8 банок вишневого варенья и 3 таких же банки клубничного. K вечеру они почувствовали, что вишневого варенья съедено на 3 литра больше, чем клубничного. Сколько двухлитровых вишнеедов можно было бы досыта накормить съеденным вареньем, если известно, что двухлитровый вишнеед наедается ровно двумя литрами вишнёвого варенья?
3. После долгих научных споров Моська согласилась, что она в 6 раз меньше слона. При этом Моська твердо убеждена, что полная луна в 12 раз меньше половины слона. Во сколько раз, по мнению Моськи, сама она больше, чем луна?
4. Решите у равнение $22-3(19-3 x)=1$.
5. В фигурах, изображённых на рисунке, самая большая фигура имеет площадь $16 \mathrm{~cm}^2$. Новый треульник формируется путём соединения середин сторон предыдущего треугольника. Если продолжить эту последовательность, чему будет равна площадь наименьшего треугольника в Фигуре 5?
   
6. Расставьте числа $1,2,3, \ldots, 10$ по кругу так, чтобы разность любых двух соседей была равна 2 или 3.
7. Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью $4 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, а с орехом (от орешника до дупла) - со скоростью $2 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Весь путь от дупла до орешника и обратно у неё занимает 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника.
8. Деревянный 6 русок размерами $20 \mathrm{~cm} \times 40 \mathrm{~cm} \times 80 \mathrm{~cm}$ распил или на 4 одинаковых бруска. Найдите наибольшую возможную сумму площадей поверхности получившихся маленьких брусков.

Решения задач

1. На праздничный ужин 31 декабря за столом собрались гости, папа, мама и старшие сёстры, а младший брат Васенька забрался под стол и пилит одну из трёх ножек стола со скоростью 3 метра в час. Через сколько минут закончится праздничный ужин, если толщина ножки стола 10 cm?
   Решение: Переведем скорость пиления в удобные единицы: 3 м/ч = 300 см/ч. Толщина ножки 10 см. Время распила:
   $\frac{10 \text{ см}}{300 \text{ см/ч}} = \frac{1}{30}$ часа $= \frac{60}{30} = 2$ минуты.
   Примечание: В условии возможна опечатка. Если считать скорость 3 см/ч, то ответ составит $\frac{10}{3} \approx 3,33$ часа $= 200$ минут.
   Ответ: 2 минуты или 200 минут (в зависимости от интерпретации скорости).
   
   
2. Ранним утром 1 января, пока родители спали, Коля и Толя съели 8 банок вишневого варенья и 3 таких же банки клубничного. K вечеру они почувствовали, что вишневого варенья съедено на 3 литра больше, чем клубничного. Сколько двухлитровых вишнеедов можно было бы досыта накормить съеденным вареньем, если известно, что двухлитровый вишнеед наедается ровно двумя литрами вишнёвого варенья?
   Решение: Пусть объём одной банки — $x$ литров. Тогда:
   $8x - 3x = 5x = 3 \text{ л} \Rightarrow x = 0,6 \text{ л}.$
   Вишнёвого варенья съедено: $8 \cdot 0,6 = 4,8$ л.
   Число вишнеедов: $\frac{4,8}{2} = 2,4 \approx 2$ (целых).
   Ответ: 2.
3. После долгих научных споров Моська согласилась, что она в 6 раз меньше слона. При этом Моська твердо убеждена, что полная луна в 12 раз меньше половины слона. Во сколько раз, по мнению Моськи, сама она больше, чем луна?
   Решение: Пусть размер слона — $S$. Тогда:
   Размер Моськи: $\frac{S}{6}$.
   Размер луны: $\frac{0,5S}{12} = \frac{S}{24}$.
   Отношение размеров: $\frac{\frac{S}{6}}{\frac{S}{24}} = \frac{24}{6} = 4$.
   Ответ: в 4 раза.
4. Решите уравнение $22-3(19-3 x)=1$.
   Решение:
   $22 - 57 + 9x = 1$
   $-35 + 9x = 1 \Rightarrow 9x = 36 \Rightarrow x = 4$.
   Ответ: 4.
5. В фигурах, изображённых на рисунке, самая большая фигура имеет площадь $16 \mathrm{~cm}^2$. Новый треугольник формируется путём соединения середин сторон предыдущего треугольника. Если продолжить эту последовательность, чему будет равна площадь наименьшего треугольника в Фигуре 5?
   Решение: Площадь каждого последующего треугольника составляет $\frac{1}{4}$ от предыдущего:
   Фигура 1: 16 см².
   Фигура 2: $16 \cdot \frac{1}{4} = 4$ см².
   Фигура 3: $1$ см².
   Фигура 4: $0,25$ см².
   Фигура 5: $0,0625$ см² $= \frac{1}{16}$ см².
   Ответ: $\frac{1}{16}$ см².
6. Расставьте числа $1,2,3,\ldots,10$ по кругу так, чтобы разность любых двух соседей была равна 2 или 3.
   Решение: Пример последовательности:
   $10-8-5-2-4-1-3-6-9-7-10$ (разности: 2, 3, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3).
   Ответ: Например, 10, 8, 5, 2, 4, 1, 3, 6, 9, 7.
7. Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью $4 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, а с орехом (от орешника до дупла) — со скоростью $2 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Весь путь от дупла до орешника и обратно у неё занимает 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника.
   Решение: Пусть расстояние — $S$. Время пути:
   $\frac{S}{4} + \frac{S}{2} = 54 \Rightarrow \frac{3S}{4} = 54 \Rightarrow S = 72$ м.
   Ответ: 72 м.
8. Деревянный брусок размерами $20 \mathrm{~cm} \times 40 \mathrm{~cm} \times 80 \mathrm{~cm}$ распилили на 4 одинаковых бруска. Найдите наибольшую возможную сумму площадей поверхности получившихся маленьких брусков.
   Решение: Исходная площадь поверхности:
   $2 \cdot (20 \cdot 40 + 40 \cdot 80 + 20 \cdot 80) = 11200$ см².
   При распиле вдоль высоты (20 см) на 4 части по 5 см каждый разрез добавляет две площади размером $40 \cdot 80$:
   Три распила: $3 \cdot 2 \cdot 40 \cdot 80 = 19200$ см².
   Итоговая площадь: $11200 + 19200 = 30400$ см².
   Ответ: 30400 см².