Лицей №1329 из 4 в 5 класс 2017 год вариант 1

Школа № 1329

2017

22.03.2017

1. (2 балла) Вычислите:
   1. \( (701 : 352 - 6148 : 58) \cdot 2 - 323 \)
   2. \( 167 \cdot \left( \frac{5047 : 49 + 8232 : 56}{4} \right) \)
   
   
   
2. (2 балла) Решите уравнение:
   1. \( 40 - 36 \div x : 53 - 33 = 0 \)
   2. \( (9n - 75) : 20 - 426 = 27 \)
   
   
   
3. (1 балл) На пол прямоугольной комнаты положили ковёр, края которого отстоят на 25 см от каждой из четырёх стен. Найти периметр комнаты, если периметр ковра 24 м.
   
   
4. (1 балл) Две машины, расстояние между которыми 355 км, едут навстречу друг другу. Скорости первой машины 50 км/ч, а второй — 60 км/ч. Вторая машина сделала до встречи остановку на 30 минут. Через какое время машины встретятся? На каком расстоянии от места выезда второй произойдёт встреча?
   
   
5. (2 балла) Назовём натуральное число «замечательным», если оно само — наименьшее среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равно 2017-е «замечательное» число?
   
   
6. (2 балла) Каждая сторона прямоугольника выражается целым количеством сантиметров. Его площадь равна площади квадрата со стороной 6 см. Чему равен его периметр?

Решения задач

1. 1. Вычислите: $(701 : 352 - 6148 : 58) \cdot 2 - 323$
      Решение:
      $701 : 352 = 1$ (целая часть)
      $6148 : 58 = 106$
      $(1 - 106) \cdot 2 - 323 = (-105 \cdot 2) - 323 = -210 - 323 = -533$
      Ответ: $-533$.
      
      
   2. Вычислите: $167 \cdot \left( \frac{5047 : 49 + 8232 : 56}{4} \right)$
      Решение:
      $5047 : 49 = 103$
      $8232 : 56 = 147$
      $\frac{103 + 147}{4} = \frac{250}{4} = 62,5$
      $167 \cdot 62,5 = 167 \cdot 60 + 167 \cdot 2,5 = 10\,020 + 417,5 = 10\,437,5$
      Ответ: $10\,437,5$.
   
   
   
2. 1. Решите уравнение: $40 - 36 \div x : 53 - 33 = 0$
      Решение:
      $40 - \frac{36}{x : 53} - 33 = 0 \implies 7 - \frac{36 \cdot 53}{x} = 0$
      $\frac{1908}{x} = 7 \implies x = \frac{1908}{7} = 272,571...$
      Проверка: Приведено предположение, что возможен другой порядок действий, но ответ соответствует целочисленному решению.
      Ответ: $x = \frac{36}{371}$ (уточненный дробный вариант).
      
      
   2. Решите уравнение: $(9n - 75) : 20 - 426 = 27$
      Решение:
      $(9n - 75) : 20 = 27 + 426 = 453$
      $9n - 75 = 453 \cdot 20 = 9\,060$
      $9n = 9\,060 + 75 = 9\,135 \implies n = \frac{9\,135}{9} = 1\,015$
      Ответ: $1\,015$.
   
   
   
3. Периметр комнаты:
   Решение: Края ковра отстоят от стен на 0,25 м, значит, длина и ширина комнаты больше ковра на $0,25 \cdot 2 = 0,5$ м.
   Периметр ковра: $24$ м.
   Периметр комнаты: $24 + 2 \cdot (0,5 + 0,5) = 24 + 2 = 26$ м.
   Ответ: $26$ м.
   
   
4. Встреча машин:
   Решение: Пусть время до встречи — $t$ часов.
   Первая машина проедет $50t$ км.
   Вторая машина двигалась $(t - 0,5)$ часов и проедет $60(t - 0,5)$ км.
   Суммарный путь: $50t + 60(t - 0,5) = 355 \implies 110t - 30 = 355 \implies t = 3,5$ часа.
   Расстояние от места выезда второй машины: $60 \cdot (3,5 - 0,5) = 180$ км.
   Ответ: Через $3,5$ часа (3 часа 30 минут), $180$ км.
   
   
5. 2017-е «замечательное» число:
   Решение: «Замечательные» числа упорядочены по возрастанию суммы цифр. Натуральное число с sum = s минимальное.
   Для сумм > 9 число начинается с (s - 9·k), за которым следуют девятки.
   2017-е число соответствует сумме $2017 - 18 = 1999$.
   Минимальное число для sum = 1999: 1 и 222 девятки (1 999...9).
   Ответ: $1\underbrace{99\ldots9}_{222}$.
   
   
6. Периметр прямоугольника:
   Решение: Площадь квадрата: $6 \cdot 6 = 36$ см². Возможные измерения прямоугольника: $(1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6)$.
   Соответствующие периметры: $74$, $40$, $30$, $26$, $24$ см.
   Ответ: Возможные периметры: $24$ см, $26$ см, $30$ см, $40$ см, $74$ см.