Лицей №1329 из 4 в 5 класс 2016 год вариант 2

Школа № 1329

2016

23.03.2016

1. Вычислить: \[ 330 \cdot (4680 : 104 + 8112 : 104 - 104) + 11880 : 3 : 12 \]
2. Решить уравнение: \[ 18 - (8 \cdot x - 43 - 4 \cdot x + 9) \cdot 8 = 2 \]
3. Сумма двух чисел равна 561. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найти эти числа.
4. В числе 3 728 924 106 зачеркнуть три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили бы наименьшее число. После зачеркивания записать число, которое получается в результате.
5. Площадь прямоугольника равна 84 см\(^2\). Одна из его сторон равна стороне квадрата, площадь которого 36 см\(^2\). На большей стороне прямоугольника построен треугольник, две стороны которого равны друг другу. Периметр треугольника равен периметру прямоугольника. Найти стороны треугольника.
6. На празднике 22 ученика. У каждого мальчика по 3 шара, у каждой девочки по 5 шаров. Всего надули 86 шаров. Кого на празднике больше — девочек или мальчиков и на сколько?
7. В 10 часов дня одновременно навстречу друг другу из двух пунктов выехали машины «Лада» и «Тойота». «Тойота» направлялась из пункта A в пункт B, а «Лада» ехала из пункта B в пункт A. Известно, что «Лада» проезжала за 15 мин на 10 км меньше, чем «Тойота». Через 240 мин после начала пути расстояние между машинами сократилось на 720 км. В этот момент «Лада» сломалась, а «Тойота», увеличив скорость на 30 км/ч, в 17 часов прибыла в пункт B. На каком расстоянии от пункта A сломалась «Лада»?
8. Для нумерации страниц книги потребовалось 492 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Решения задач

1. Вычислить: \[ 330 \cdot (4680 : 104 + 8112 : 104 - 104) + 11880 : 3 : 12 \] Решение: \[ 4680 : 104 = 45, \quad 8112 : 104 = 78 \] \[ 45 + 78 - 104 = 19 \] \[ 330 \cdot 19 = 6270, \quad 11880 : 3 : 12 = 330 \] \[ 6270 + 330 = 6600 \] Ответ: 6600.
2. Задача. Решить уравнение $18-(8\cdot x-43-4\cdot x+9)\cdot 8=2$.
   Решение. \[ 18-(8\cdot x-43-4\cdot x+9)\cdot 8=2\\ \] \[ 18-(4\cdot x-34)\cdot 8=2\\ \] \[ 18-(32\cdot x-272)=2\\ \] \[ 18-32\cdot x+272=2\\ \] \[ 290-32\cdot x=2\\ \] \[ 32\cdot x=288\\ \] \[ x=9 \]
   Ответ. 9.
3. Сумма двух чисел равна 561. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найти эти числа.
   Решение: Пусть большее число \(10x\), тогда меньшее \(x\): \[ 10x + x = 561 \quad \Rightarrow \quad 11x = 561 \quad \Rightarrow \quad x = 51 \] Ответ: 510 и 51.
4. Задача. В числе 3 728 924 106 зачеркнуть три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили бы наименьшее число. После зачеркивания записать получившееся число.
   Решение. Чтобы получить наименьшее число, стараемся сделать как можно меньшей первую цифру, но так, чтобы после неё осталось ещё 6 цифр. Поэтому первую цифру выбираем среди первых четырёх цифр 3, 7, 2, 8: наименьшая здесь 2, значит зачёркиваем 3 и 7. Осталось зачеркнуть ещё одну цифру, и теперь выбираем следующую цифру среди 8 и 9: берём 8. Далее выбираем следующую цифру среди 9 и 2: берём 2, значит зачёркиваем 9. Остальные цифры дописываем как есть: 4, 1, 0, 6.
   Ответ. 2824106.
5. Площадь прямоугольника равна 84 см\(^2\). Сторона квадрата с площадью 36 см\(^2\) равна 6 см. Другая сторона прямоугольника: \[ 84 : 6 = 14 \text{ см} \] Периметр прямоугольника: \[ 2 \cdot (6 + 14) = 40 \text{ см} \] Равнобедренный треугольник с периметром 40 см и основанием 14 см: \[ 2a + 14 = 40 \quad \Rightarrow \quad a = 13 \text{ см} \] Ответ: 13 см, 13 см, 14 см.
6. Задача. На празднике 22 ученика. У каждого мальчика по 3 шара, у каждой девочки по 5 шаров. Всего надули 86 шаров. Кого на празднике больше — девочек или мальчиков и на сколько?
   Решение. Если бы у каждого было по 3 шара, то надули бы $22\cdot 3=66$ шаров. На самом деле надули 86 шаров, то есть на $86-66=20$ шаров больше. Каждый раз, когда вместо мальчика (3 шара) берут девочку (5 шаров), шаров становится на 2 больше. Значит, девочек было $20:2=10$. Тогда мальчиков $22-10=12$, то есть мальчиков больше на $12-10=2$.
   Ответ. Мальчиков больше на 2.
7. Задача. В 10:00 одновременно навстречу друг другу из пунктов A и B выехали «Тойота» (из A в B) и «Лада» (из B в A). «Лада» проезжала за 15 мин на 10 км меньше, чем «Тойота». Через 240 мин расстояние между машинами сократилось на 720 км. В этот момент «Лада» сломалась, а «Тойота», увеличив скорость на 30 км/ч, в 17:00 прибыла в пункт B. На каком расстоянии от пункта A сломалась «Лада»?
   Решение. За 15 мин «Тойота» проезжает на 10 км больше, значит за 60 мин (в 4 раза больше времени) она проезжает на $10\cdot 4=40$ км больше, то есть скорость «Тойоты» на 40 км/ч больше. За 240 мин, то есть за 4 ч, расстояние уменьшилось на 720 км, значит за 1 ч вместе они сближались на $720:4=180$ км, то есть сумма скоростей 180 км/ч. Тогда скорость «Тойоты» равна $(180+40):2=110$ км/ч, а скорость «Лады» равна $(180-40):2=70$ км/ч. За первые 4 ч «Тойота» проехала $110\cdot 4=440$ км от A. После поломки «Тойота» ехала до B ещё 3 ч со скоростью $110+30=140$ км/ч и проехала $140\cdot 3=420$ км, значит $AB=440+420=860$ км. За первые 4 ч «Лада» проехала от B $70\cdot 4=280$ км, значит место поломки находится от A на расстоянии $860-280=580$ км.
   Ответ. 580 км от пункта A.
8. Задача. Для нумерации страниц книги потребовалось 492 цифры. Сколько страниц в этой книге?
   Решение. На страницы с 1 по 9 ушло 9 цифр. На страницы с 10 по 99 ушло $90\cdot 2=180$ цифр, всего до 99-й страницы израсходовали $9+180=189$ цифр. Осталось $492-189=303$ цифры на трёхзначные номера страниц. На одну трёхзначную страницу нужно 3 цифры, значит таких страниц $303:3=101$, то есть от 100-й до 200-й включительно.
   Ответ. 200.