Лицей №131 из 7 в 8 класс 2015 год

ЛИЦЕЙ №131 Г. КАЗАНИ

2015 год

1. Выполните действия и найдите, сколько процентов знаменатель составляет от числителя $\frac{5 \frac{5}{7}: \frac{8}{21}+1 \frac{8}{13} \cdot\left(\frac{43}{56}-\frac{11}{24}\right)}{3,1 \cdot\left(1 \frac{1}{71}+2 \frac{1}{32}\right)^{0}}$
2. Постройте график прямой пропорциональности, если известно, что он параллелен прямой $y=\frac{2}{7} x+\frac{3}{4} .$
3. Если увеличить ширину прямоугольника на $10 \%$, а $20 \%$, то его периметр увеличится на 16 см. Если же уменьшить ширину на $20 \%$, а длину на $10 \%$, то его периметр уменьшится на $14 \%$. Найдите периметр прямоугольника.
4. Выполните действия $\frac{2^{19} \cdot 27^{3}+15 \cdot 4^{9} \cdot 9^{4}}{6^{9} \cdot 2^{10}+12^{10}}$
5. Разложите на множители $a^{4}-6 a^{3}+54 a-81$
6. Существует ли такое значение а, при котором уравнение $\frac{a(2-x)}{12}-\frac{2 x-3}{8}=\frac{3}{8}$
   1. имеет бесконечное множество корней;
   2. не имеет корней.
7. Товарный поезд имеет длину 1 км и движется со скоростью 50 км/ч. За какое время он пройдет туннель длиной 1 км?

Решения задач

1. Выполните действия и найдите, сколько процентов знаменатель составляет от числителя: $\frac{5 \frac{5}{7}: \frac{8}{21}+1 \frac{8}{13} \cdot\left(\frac{43}{56}-\frac{11}{24}\right)}{3,1 \cdot\left(1 \frac{1}{71}+2 \frac{1}{32}\right)^{0}}$
   Решение:
   Числитель:
   1. $5\frac{5}{7} = \frac{40}{7}$; $1\frac{8}{13} = \frac{21}{13}$
   2. $\frac{40}{7} : \frac{8}{21} = \frac{40}{7} \cdot \frac{21}{8} = 15$
   3. $\frac{43}{56} - \frac{11}{24} = \frac{129 - 77}{168} = \frac{13}{42}$
   4. $\frac{21}{13} \cdot \frac{13}{42} = \frac{1}{2} = 0,5$
   5. Сумма: $15 + 0,5 = 15,5$
   Знаменатель:
   1. $\left(1\frac{1}{71} + 2\frac{1}{32}\right)^0 = 1$ (любое число в нулевой степени равно 1)
   2. $3,1 \cdot 1 = 3,1$
   Результат: $\frac{15,5}{3,1} = 5$.
   Процентное соотношение: $\frac{3,1}{15,5} \cdot 100% = 20\%$.
   Ответ: 20.
2. Постройте график прямой пропорциональности, если известно, что он параллелен прямой $y=\frac{2}{7}x + \frac{3}{4}$.
   Решение: Графики прямых параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой пропорциональности: $y = kx$. При $k = \frac{2}{7}$:
   Ответ: $y = \frac{2}{7}x$.
3. Периметр прямоугольника:
   Решение: Пусть длина — $l$, ширина — $w$. После увеличения:
   • Ширина: $1,1w$, длина: $1,2l$
   • Уравнение: $2(1,1w + 1,2l) = 2(l + w) + 16 \Rightarrow w + 2l = 80$
   После уменьшения:
   • Ширина: $0,8w$, длина: $0,9l$
   • Уравнение: $0,28 \cdot 2(l + w) = 0,2l + 0,4w \Rightarrow 3w = 2l$
   Система: \[ \begin{cases} w + 2l = 80 \\ 3w = 2l \end{cases} \Rightarrow w = 20; \ l = 30 \] Периметр: $2(20 + 30) = 100$ см.
   Ответ: 100.
4. Выполните действия: $\frac{2^{19} \cdot 27^{3} + 15 \cdot 4^{9} \cdot 9^{4}}{6^{9} \cdot 2^{10} + 12^{10}}$
   Решение: Разложение степеней:
   • Числитель: $2^{19} \cdot 3^9 + 15 \cdot 2^{18} \cdot 3^8 = 2^{18} \cdot 3^8 \cdot 21$
   • Знаменатель: $2^{19} \cdot 3^9 + 2^{20} \cdot 3^{10} = 2^{19} \cdot 3^9 \cdot 7$
   Упрощение: $\frac{2^{18} \cdot 3^8 \cdot 21}{2^{19} \cdot 3^9 \cdot 7} = \frac{21}{2 \cdot 3 \cdot 7} = 0,5$.
   Ответ: 0,5.
5. Разложите на множители: $a^4 - 6a^3 + 54a - 81$
   Решение:
   • Подстановка $a = 3$ обнуляет выражение → делитель $(a - 3)$
   • Деление в столбик: $\frac{a^4 -6a^3 +54a -81}{a - 3} = a³ -3a² -9a +27$
   • Повторное деление: $a³ -3a² -9a +27 = (a - 3)(a² - 9) = (a - 3)^2(a + 3)$
   Итог: $(a - 3)^3(a + 3)$.
   Ответ: $(a - 3)^3(a + 3)$.
6. Уравнение: $\frac{a(2-x)}{12} - \frac{2x-3}{8} = \frac{3}{8}$
   Решение: Умножение на 24: $2a(2 - x) - 3(2x - 3) = 9$
   Упрощение: $(2a + 6)x = 4a$ → $x = \frac{2a}{a + 3}$.
   Анализ:
   1. Бесконечное множество корней: Невозможно (противоречивые условия).
   2. Нет корней: $a = -3$ (уравнение $0 = -12$).
   Ответы:
   1. Не существует.
   2. $a = -3$.
7. Движение поезда через туннель:
   Решение:
   • Полная длина: $1 + 1 = 2$ км = 2000 м.
   • Скорость: $50$ км/ч = $\frac{50000}{3600} \approx 13,89$ м/с.
   • Время: $\frac{2000}{13,89} \approx 144$ секунды.
   Ответ: 144 секунды.