Лицей №131 из 6 в 7 класс 2014 год (вариант 1)

ЛИЦЕЙ №131 Г. КАЗАНИ

2015 год

Вариант 1

1. Из 84 конфет и 56 шоколадок сформированы одинаковые подарочные наборы, причем, количество этих наборов - нечетное простое число. Найти это число, а также количество конфет и шоколадок в каждом наборе.
2. Выбрав наиболее удобный порядок вычислений, найти значение выражения: $$ 3 \frac{1}{3} \cdot 4 \frac{1}{5}+4,2 \cdot \frac{2}{3}-\left(-3 \frac{1}{3} \cdot 2 \frac{4}{5}-2,8 \cdot \frac{2}{3}\right) $$
3. Турист прошел путь от А до В со скоростью 4 км/ч., а обратно он шел Зч. Средняя скорость составила $4,8 к м / ч$. Найти расстояние $A B$.
4. В одном сплаве $20 \%$ олова, а в другом - 40\%. Сколько кг каждого сплава надо взять, чтобы получить 4 кг сплава с содержанием олова $25 \%$ ?
5. При каких значениях $a$ верно равенство $$ \frac{|a|}{2,7-\frac{1}{3}}=\frac{1-a}{2 \frac{2}{3}-0,2} ? $$
6. Деталь имеет форму прямоугольника с отношением сторон $1: 2$. Она изображена на чертеже в масштабе $\mathbf{3}: \mathbf{8}$, причем периметр изображения равен $18 \mathrm{~cm}$. Каковы размеры детали?
7. На координатной плоскости построить квадрат $A B C D$, если $A(0 ; 3), B(3 ; 6)$ и $D(3 ; 0)-$ его вершины и найти координаты точки пересечения отрезков AC и BD.

Решения задач

1. Из 84 конфет и 56 шоколадок сформированы одинаковые подарочные наборы. Найти количество наборов и количество конфет и шоколадок в каждом наборе.
   Решение: Найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 84 и 56.
   $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$
   $56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7$
   Общие множители: 2, 2, 7. НОД $= 2 \cdot 2 \cdot 7 = 28$
   Делители 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Единственное нечетное простое число среди делителей — 7.
   В каждом наборе:
   Конфет: $\frac{84}{7} = 12$
   Шоколадок: $\frac{56}{7} = 8$
   Ответ: 7 наборов (12 конфет, 8 шоколадок).
   
   
2. Вычислить значение выражения: $3 \frac{1}{3} \cdot 4 \frac{1}{5} + 4,2 \cdot \frac{2}{3} - \left(-3 \frac{1}{3} \cdot 2 \frac{4}{5} - 2,8 \cdot \frac{2}{3}\right)$
   Решение:
   $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$, $4\frac{1}{5} = \frac{21}{5}$, $4,2 = \frac{21}{5}$, $-3\frac{1}{3} = -\frac{10}{3}$, $2\frac{4}{5} = \frac{14}{5}$, $2,8 = \frac{14}{5}$.
   Вычислим части:
   $\frac{10}{3} \cdot \frac{21}{5} = \frac{210}{15} = 14$
   $\frac{21}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{42}{15} = \frac{14}{5}$
   $-\frac{10}{3} \cdot \frac{14}{5} = -\frac{140}{15} = -\frac{28}{3}$
   $-\frac{14}{5} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{28}{15}$
   Собираем выражение:
   $14 + \frac{14}{5} - \left(-\frac{28}{3} - \frac{28}{15}\right) = 14 + \frac{14}{5} + \frac{168}{15}$
   Приведем к общему знаменателю 15:
   $14 = \frac{210}{15}$, $\frac{14}{5} = \frac{42}{15}$
   $\frac{210}{15} + \frac{42}{15} + \frac{168}{15} = \frac{420}{15} = 28$
   Ответ: 28.
   
   
3. Турист прошел путь от А до В со скоростью 4 км/ч, обратно за 3 ч. Средняя скорость составила 4,8 км/ч. Найти расстояние АВ.
   Решение: Пусть расстояние AB = $S$ км.
   Общее время: $\frac{S}{4} + 3$
   Общий путь: $2S$ км
   Средняя скорость: $\frac{2S}{\frac{S}{4} + 3} = 4,8$
   $2S = 4,8 \left(\frac{S}{4} + 3 \right)$
   $2S = 1,2S + 14,4 \quad \Rightarrow \quad 0,8S = 14,4 \quad \Rightarrow \quad S = 18$
   Ответ: 18 км.
   
   
4. Найти количество кг сплавов с 20% и 40% олова для получения 4 кг сплава с 25% олова.
   Решение: Пусть $x$ кг первого сплава (20% олова), $(4 - x)$ кг второго (40% олова).
   Уравнение:
   $0,2x + 0,4(4 - x) = 0,25 \cdot 4$
   $0,2x + 1,6 - 0,4x = 1 \quad \Rightarrow -0,2x = -0,6 \quad \Rightarrow x = 3$
   Ответ: 3 кг сплава с 20% олова и 1 кг с 40% олова.
   
   
5. Решить уравнение: $\frac{|a|}{2,7-\frac{1}{3}} = \frac{1-a}{2\frac{2}{3}-0,2}$
   Решение:
   Упростим знаменатели:
   $2,7 - \frac{1}{3} = \frac{27}{10} - \frac{1}{3} = \frac{71}{30}$
   $2\frac{2}{3} - 0,2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{5} = \frac{37}{15}$
   Уравнение: $\frac{|a|}{\frac{71}{30}} = \frac{1 - a}{\frac{37}{15}}$
   $\frac{30|a|}{71} = \frac{15(1 - a)}{37} \quad \Rightarrow |a| = \frac{71(1 - a)}{74}$
   Рассмотрим два случая:
   1) $a \ge 0$: $a = \frac{71}{74}(1 - a) \quad \Rightarrow a = \frac{71}{145}$
   2) $a < 0$: $-a = \frac{71}{74}(1 - a) \quad \Rightarrow a = -\frac{71}{3}$
   Ответ: $\frac{71}{145}$ и $-\frac{71}{3}$.
   
   
6. Найти размеры детали с отношением сторон 1:2 при масштабе чертежа 3:8 и периметре изображения 18 см.
   Решение: На чертеже стороны пропорциональны 1:2 ⇒ 3x и 6x.
   Периметр: $3x + 6x + 3x + 6x = 18x = 18 \quad \Rightarrow x = 1$ см.
   Реальные размеры:
   Длина: $6 \cdot \frac{8}{3} = 16$ см, Ширина: $3 \cdot \frac{8}{3} = 8$ см.
   Ответ: 8 см и 16 см.
   
   
7. Построить квадрат ABCD с вершинами A(0;3), B(3;6), D(3;0). Найти точку пересечения отрезков AC и BD.
   Решение:
   Векторы AB = (3, 3) и AD = (3, -3) ортогональны и равны по длине, значит ABCD — квадрат.
   Вершина C: начинаем из B(3;6) и перемещаемся на вектор AD: $(3, -3) ⇒ C(6;3)$.
   Диагонали AC и BD пересекаются в серединах:
   Середина AC: $\left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{3 + 3}{2}\right) = (3;3)$
   Середина BD: $\left(\frac{3 + 3}{2}, \frac{6 + 0}{2}\right) = (3;3)$
   Ответ: C(6;3), точка пересечения O(3;3).