8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей № 97 из 7 в 8 класс 2016 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Сложность:
Дата экзамена: 2016
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №97 (ЧЕЛЯБИНСК)


2016 год


Вариант 1



  1. Решите неравенство:
    1. $\left(2 x^{2}+3 x+4\right)(x+3) \leq 0$
    2. $\left|x^{2}+2 \mathrm{x}-3\right|<|6 \mathrm{x}-6|$
  2. Решите уравнение:
    1. $3 x^{2}+7 x-2=3 *\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}+7 *\left(-\frac{16}{3}\right)-2$
    2. $\left(x^{2}-5 x+2\right)\left(x^{2}-5 x-1\right)=28$
  3. Упростите выражение:
    1. $(8-2 \sqrt{15})(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}$;
    2. $\left(\frac{3 x}{2 y-2}\right)^{-2} * 18 x^{2} y^{3}$;
    3. $\frac{x^{4}-3 x^{2}+1}{x^{3}-27}: \frac{x^{2}+x-1}{x^{2}+3 x+9}$
  4. При каких х имеет смысл выражение $$ \frac{2}{\sqrt{x^{2}+x-20}}+\sqrt{x}^{2}+5 x-14 ? $$
  5. Два тела движутся навстречу друг другу из двух мест, находящихся на расстоянии 153 м. Первое тело проходит по 10 м в секунду, второе же в первую секунду прошло 3 м, а в каждую следующую секунду на 5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?
  6. Имеется стальной лом двух сортов с содержанием никеля $5 \%$ и $40 \%$. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием $30 \%$ никеля?
  7. Две трубы, работая одновременно, заполняют бассейн за 6 ч. За какое время наполнила бы бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что первая труба подаѐт в час воды на $50 \%$ больше второй?
  8. Для нумерации страниц книги, начиная с первой, потребовалось 2325 цифр. Сколько страниц в книге?
  9. Постройте график функции:
    1. $\quad y=\sqrt{\mid} x \mid-2 ;$
    2. $\mathrm{y}=\left|\frac{5-x}{x+2}\right|$
    3. $\quad y=\frac{\left|x^{x}-3 x+2\right|}{x-1}$
  10. Диагонали ромба относятся как 2:5, а периметр равен 400см. Найдите площадь ромба.
  11. В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, СН - высота, ВС $=24, \sin <\mathrm{A}=\frac{3}{4}$. Найдите АН.
  12. Хорда длиной 60 см, перпендикулярная диаметру, делит его в отношении $2: 8 .$ Найдите диаметр окружности.
  13. При каких значениях b уравнение $\frac{x^{2}-(5 b+3) x+4 b^{2}+3 b}{x+1}=0$ -имеет один корень, -имеет только положительные корни
  14. Укажите все значения параметра $\mathrm{k}$, при которых квадратный трѐхчлен $x^{2}+k x+k^{2}+6 k$ отрицателен при всех значениях $\mathrm{x}$, удовлетворяющих неравенству $8 x^{2}+17<24 ч+2|x-1,5|$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. $\left(2 x^{2}+3 x+4\right)(x+3) \leq 0$
      Решение:
      Квадратный трёхчлен $2x^2 + 3x + 4$ имеет отрицательный дискриминант $D = 9 - 32 = -23$, поэтому всегда положителен. Неравенство сводится к:
      $x + 3 \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq -3$
      Ответ: $x \leq -3$.

    2. $|x^{2}+2x-3| < |6x-6|$
      Решение:
      Возведем обе части в квадрат:
      $(x^2 + 2x - 3)^2 < (6x - 6)^2$
      Разность квадратов:
      $(x^2 - 4x + 3)(x^2 + 8x -9) < 0$
      Факторизуем:
      $(x - 1)(x - 3)(x + 9)(x - 1) < 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 1)^2(x - 3)(x + 9) < 0$
      Решаем методом интервалов. Учитывая $x \neq 1$ (т.к. $|6 \cdot 1 -6| = 0$):
      $-9 < x < 1$, $1 < x < 3$
      Ответ: $-9 < x < 1$; $1 < x < 3$.


    1. $3x^{2}+7x-2=3 \cdot \left(-\frac{16}{3}\right)^{2} +7 \cdot \left(-\frac{16}{3}\right)-2$
      Решение:
      Вычислим правую часть:
      $3 \cdot \frac{256}{9} - \frac{112}{3} - 2 = \frac{768}{9} - \frac{336}{9} - \frac{18}{9} = \frac{414}{9} = 46$
      Уравнение принимает вид: $3x^2 +7x -48=0$.
      Решение: $x = \frac{ -7 \pm \sqrt{49 + 576} }{6} = \frac{ -7 \pm 25 }{6} \Rightarrow x = 3$; $x = -\frac{16}{3}$
      Ответ: $3$; $-\frac{16}{3}$.

    2. $\left(x^{2}-5x +2\right)\left(x^{2}-5x -1\right)=28$
      Решение:
      Замена $t = x^2 -5x$. Уравнение:
      $(t+2)(t-1) =28 \quad \Rightarrow \quad t^2 +t -30=0 \Rightarrow t =5$; $t=-6$
      • $x^2 -5x =5 \Rightarrow x = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$
      • $x^2 -5x =-6 \Rightarrow x=2$; $x=3$
      Ответ: $2$; $3$; $\frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.


    1. $(8-2\sqrt{15})(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$
      Решение:
      $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 =8 + 2\sqrt{15}$
      Исходное выражение: $(8 - 2\sqrt{15})(8 + 2\sqrt{15}) = 64 -60 =4$
      Ответ: $4$.

    2. $\left(\frac{3x}{2y-2}\right)^{-2} \cdot 18x^2y^3$
      Решение:
      $\left(\frac{2y-2}{3x}\right)^2 \cdot 18x^2y^3 = \frac{4(y-1)^2}{9x^2} \cdot 18x^2y^3 = \frac{72(y-1)^2y^3}{9} =8y^3(y-1)^2$
      Ответ: $8y(y-1)^2$.

    3. $\frac{x^4-3x^2+1}{x^3-27} : \frac{x^2+x-1}{x^2+3x+9}$
      Решение:
      Преобразуем делители:
      $x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$, тогда выражение:
      $\frac{(x^4-3x^2+1)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x^2+3x+9)(x^2+x-1)} = \frac{x^4-3x^2+1}{(x-3)(x^2+x-1)}$
      Сокращение невозможно. Ответ: $\frac{x^4-3x^2+1}{(x-3)(x^2+x-1)}$.


  4. Область определения выражения:
    $\frac{2}{\sqrt{x^{2}+x-20}} + \sqrt{x^2} +5x -14$
    Решение:
    1. $\sqrt{x^2+x-20} \neq 0$: $x^2 +x -20 \geq 0 \Rightarrow x \leq -5$ или $x \geq4$.
    2. Учитывая $\sqrt{x^2}=|x|$, выражение $|x| +5x -14$:
      • При $x \geq0$: $6x -14 \geq0 \Rightarrow x \geq \frac{14}{6} \approx2.33$.
      • При $x<0$: $-x +5x -14 \geq0 \Rightarrow4x \geq14$ (нет решений).
      Итоговое пересечение: $x \geq4$.
      Ответ: $x \leq -5$, $x \geq4$.

    3. Задача о встрече:
      Первое тело: $S_1 =10t$.
      Второе тело: арифметическая прогрессия с $a_1=3$, $d=5$.
      Сумма пути второго тела за $t$ секунд: $S_2= \frac{2 \cdot3 +5(t-1)}{2} \cdot t$
      Уравнение: $10t + \frac{(5t +1)t}{2} =153$
      Решаем: $20t +5t^2 +t =306 \Rightarrow5t^2 +21t -306=0$
      Корень $t=6$
      Ответ: 6.

    4. Смесь металлов:
      Пусть $x$ т − 5% сорт, $y$ т − 40% сорт.
      Система: \begin{align} x + y &=140 \\ 0.05x +0.4y &=42. \end{align} Решение: $x=40$; $y=100$
      Ответ: 40 т и 100 т.

    5. Трубы:
      Пусть вторая труда заполняет за $t$ часов, тогда первая за $\frac{2}{3}t$.
      Производительность:
      $\frac{1}{t} + \frac{1.5}{t} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{2.5}{t} = \frac{1}{6} \Rightarrow t=15$ (2 труба), $\frac{2}{3}t=10$ (1 труба).
      Ответ: 10 и 15.

    6. Нумерация страниц:
      Итого цифр: 2325.
      Однозначные: 9 цифр, Двузначные: 180 цифр.
      Трехзначные: $(N-99) \cdot3 =2136 \Rightarrow N=811$.
      Ответ: 811 (в ответах 1083 − возможна ошибка условия).

    7. Ромб:
      Диагонали $2k:5k$, сторона $a=100$ см.
      Из формулы стороны: $100= \sqrt{\left(\frac{2k}{2}\right)^2 +\left(\frac{5k}{2}\right)^2 } \Rightarrow k = \frac{200}{\sqrt{29}}$
      Площадь: $\frac{2k \cdot5k}{2} = \frac{200000}{29}$
      Ответ: $\frac{200000}{29}$.

    8. Треугольник:
      $AB=32$, $AC=8\sqrt{7}$, высота $CH=6\sqrt{7}$.
      $AH=AC^2/AB=14$.
      Ответ: 14.

    9. Окружность:
      Отношение 2:8, хорда CD=60 см.
      $AO \cdot OB=CO^2 \Rightarrow (2k)(8k)=30^2 \Rightarrow16k^2=900 \Rightarrowk=7.5$
      Диаметр AB=10k=75 см.
      Ответ:75.

    10. Уравнение с параметром:
      $\frac{(x-4b-3)(x-b)}{x+1}=0$
      Корни: $x=4b+3$, $x=b$.
      Один корень: если один корень исключен (напр., $b=-1$), но решений нет.
      Положительные корни: $b >0$.
      Ответ: нет решений; $b>0$.

    11. Параметр k:
      Неравенство $8x^2 +17 <24x +2|x-1.5|$ имеет решение $x \in(1,2)$.
      Трёхчлен $x^2+kx+k^2+6k <0$ должен выполниться для всех $x\in(1,2)$.
      После анализа условий для корней получаем, что таких параметров $k$ не существует.
      Ответ: Нет значений $k$.
Материалы школы Юайти