Лицей № 97 из 7 в 8 класс 2016 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №97 (ЧЕЛЯБИНСК)

2016 год

Вариант 1

1. Найдите значение выражения $9 m^{2}-30 m n+25 n^{2}$ при $m=5 \frac{2}{3}, n=1,4 .$
2. Упростите выражение:
   1. $(2 a-b)(a+b-c)-(a+2 b)(a-b+c)+3 c(a+b)$;
   2. $\left(-2 a b^{5} c\right)^{3} \cdot\left(-3 a^{5} b c^{3}\right)^{2}$
3. Постройте в одной системе координат графики функций $y=x^{2}$ и $y=5 x-6$ и найдите (графически) координаты точек пересечения.
4. Решите уравнение:
   1. $(3 x-1)^{2}-8(x+1)^{2}=(x+2)(x-2)$
   2. $\frac{7 x-1}{5}-\frac{3 x-7}{2}=6-x$
5. Разложите на множители:
   1. $a^{2}-b^{2}-2 b c-c^{2}$
   2. $b^{2}(a+1)-a^{2}(b+1)$
6. Найдите такую пару чисел, удовлетворяющую уравнению $5 x+17 y=61$, сумма которых равна $5 .$
7. Пешеход сначала шел в горку со скоростью 3 км/ч, а затем спускался с нее со скоростью 5 км/ч. Найдите общий путь проделанный пешеходом, если дорога в горку на 1 км длиннее спуска, а затраченное на весь путь время равно 3 ч.
8. Одна из сторон равнобедренного треугольника на 8 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр 44 см.
9. * Для всякого значения $b$ решите уравнение $(b-5)(b+3) \cdot x=b^{2}-25$.
10. * Разложите на множители $x^{4}+3 x^{2}+4$.
11. * Популярность премьер-министра Анчурии в прошлом году снизилась на столько же процентов, на сколько и в этом. В результате за два года она снизилась на $51 \%$. На сколько процентов в год снизилась популярность?

Решения задач

1. Найдите значение выражения $9 m^{2}-30 m n+25 n^{2}$ при $m=5 \frac{2}{3}, n=1,4 .$
   Решение: Исходное выражение представляет собой полный квадрат:
   $9m^2 - 30mn + 25n^2 = (3m - 5n)^2$.
   Подставляя данные значения:
   $3m = 3 \cdot \frac{17}{3} = 17$, $5n = 5 \cdot 1,4 = 7$.
   $(17 - 7)^2 = 10^2 = 100$.
   Ответ: 100.
2. Упростите выражение:
   1. $(2 a-b)(a+b-c)-(a+2 b)(a-b+c)+3 c(a+b)$
      Решение: Раскроем скобки и приведем подобные:
      $(2a - b)(a + b - c) = 2a^2 + ab - 2ac - b^2 + bc$
      $(a + 2b)(a - b + c) = a^2 + ab + ac - 2b^2 + 2bc$
      Вычитаем:
      $(2a^2 + ab - 2ac - b^2 + bc) - (a^2 + ab + ac - 2b^2 + 2bc) = a^2 - 3ac + b^2 - bc$
      Добавляем $3c(a + b)$:
      $a^2 + b^2 + 2bc$.
      Ответ: $a^2 + b^2 + 2bc$.
   2. $\left(-2 a b^{5} c\right)^{3} \cdot\left(-3 a^{5} b c^{3}\right)^{2}$
      Решение: Возводим в степени и перемножаем:
      $(-2ab^5c)^3 = -8a^3b^{15}c^3$
      $(-3a^5bc^3)^2 = 9a^{10}b^2c^6$
      Умножаем:
      $-8 \cdot 9 = -72$
      Показатели складываем:
      $a^{3+10} = a^{13}$, $b^{15+2} = b^{17}$, $c^{3+6} = c^9$
      Ответ: $-72a^{13}b^{17}c^9$.
3. Постройте в одной системе координат графики функций $y=x^{2}$ и $y=5 x-6$ и найдите координаты точек пересечения.
   Решение: Решаем уравнение $x^2 = 5x - 6$:
   $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2, x = 3$.
   Подставляем в $y = 5x - 6$:
   $(2, 4), (3, 9)$.
   Ответ: $(2;4)$, $(3;9)$.
4. Решите уравнение:
   1. $(3 x-1)^{2}-8(x+1)^{2}=(x+2)(x-2)$
      Решение: Раскрываем квадраты:
      $9x^2 -6x +1 -8x^2 -16x -8 = x^2 -4$
      $-22x -7 = x^2 -4$
      $-22x -3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{22}$.
      Ответ: $-\frac{3}{22}$.
   2. $\frac{7 x-1}{5}-\frac{3 x-7}{2}=6-x$
      Решение: Умножаем на 10:
      $2(7x -1) -5(3x -7) = 60 -10x$
      $14x -2 -15x +35 =60 -10x$
      $-x +33 =60 -10x \Rightarrow 9x =27 \Rightarrow x =3$.
      Ответ: 3.
5. Разложите на множители:
   1. $a^{2}-b^{2}-2 b c-c^{2}$
      Решение: $a^2 - (b + c)^2 = (a - b - c)(a + b + c)$.
      Ответ: $(a - b - c)(a + b + c)$.
   2. $b^{2}(a+1)-a^{2}(b+1)$
      Решение: Группировка и факторизация:
      $b^2a +b^2 -a^2b -a^2 = (b^2a -a^2b) + (b^2 -a^2)$
      $ab(b -a) + (b -a)(b +a) = (b -a)(ab +a +b)$.
      Ответ: $(b -a)(ab +a +b)$.
6. Найдите пару чисел, удовлетворяющую уравнению $5 x+17 y=61$, сумма которых равна $5 .$
   Решение: Решаем систему:
   $\begin{cases} 5x +17y =61 \\ x + y =5 \end{cases}$
   Подстановка $x =5 - y$:
   $5(5 - y) +17y =61 \Rightarrow y=3, x=2$.
   Ответ: $(2;3)$.
7. Пешеход шел в гору со скоростью 3 км/ч, спускался со скоростью 5 км/ч. Общий путь равен 11 км, если дорога в гору на 1 км длиннее спуска, а время 3 ч.
   Решение: Пусть спуск $x$ км, подъем $x+1$ км:
   $\frac{x+1}{3} + \frac{x}{5} =3 \Rightarrow x =5$.
   Ответ: 11 км.
8. Стороны равнобедренного треугольника: 12 см, 12 см, 20 см или $\frac{28}{3}$ см, $\frac{52}{3}$ см, $\frac{52}{3}$ см при периметре 44 см.
   Решение: Пусть длина основания $a$, боковые стороны $b$:
   Случай 1: $a =b -8 \Rightarrow 3b -8 =44 \Rightarrow b =\frac{52}{3}$.
   Случай 2: $b =a -8 \Rightarrow 3a -16 =44 \Rightarrow a =20$.
   Ответ: 12 см, 12 см, 20 см; $\frac{28}{3}$ см, $\frac{52}{3}$ см, $\frac{52}{3}$ см.
9. Решение уравнения $(b -5)(b +3)x = b^2 -25$:
   Если $b \neq-3$, $b \neq5$: $x =\frac{b +5}{b +3}$.
   При $b =5$: $x$ — любое.
   При $b =-3$: нет решений.
   Ответ: $x=\frac{b +5}{b +3}$ при $b \neq-3,5$; любое $x$ при $b=5$; нет решений при $b=-3$.
10. Разложение на множители $x^4 +3x^2 +4$.
    Решение:
    $x^4 +3x^2 +4 = (x^2 +2)^2 -x^2 = (x^2 +x +2)(x^2 -x +2)$.
    Ответ: $(x^2 +x +2)(x^2 -x +2)$.
11. Снижение популярности на $30\%$ ежегодно.
    Решение:
    $(1 - r)^2 =0,49 \Rightarrow r =0,3$.
    Ответ: $30\%$.