Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 8 в 9 класс 2015 год вариант 2-1

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2015 год

Вариант 1

1. Найдите значение выражения $\frac{a x+b x-a y-b y}{3 a+3 b}$, если х-у $=6$
2. Сократите дробь: $$ \frac{a^{8}+a^{9}+a^{10}}{a^{-4}+a^{-5}+a^{-6}} $$
3. Вычислите:
   1. $\sqrt{0,025 \cdot 0,4 \cdot 3,6 \cdot 1000}$;
   2. $\sqrt{7+4 \sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4 \sqrt{3}}$;
   3. $\sqrt{(3 \sqrt{2}-5)^{2}}+\sqrt{(4-3 \sqrt{2})^{2}}$.
4. Решите неравенство: $6(1+y)-5(3 y+1)>10$
5. Задача. От прямоугольного листа картона, длина которого 32 см, а ширина 24 см, отрезали по углам равные квадраты, а из оставшейся части склеили коробку, площадь основания которой 384 см $^{2}$. Найти сторону квадрата.
6. $\mathrm{x}_{1}$ и $\mathrm{x}_{2}$ корни уравнения $\mathrm{x}^{2}+7 \mathrm{x}-18=0$. Не решая уравнения, найдите значения выражения $\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}$

Решения задач

1. Найдите значение выражения $\frac{a x+b x-a y-b y}{3 a+3 b}$, если $x - y = 6$.
   Решение: Преобразуем числитель:
   $ax + bx - ay - by = a(x - y) + b(x - y) = (a + b)(x - y)$
   Знаменатель: $3(a + b)$
   Тогда выражение упрощается до:
   $\frac{(a + b)(x - y)}{3(a + b)} = \frac{x - y}{3} = \frac{6}{3} = 2$
   Ответ: 2.
2. Сократите дробь: $ \frac{a^{8}+a^{9}+a^{10}}{a^{-4}+a^{-5}+a^{-6}} $
   Решение: Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
   Числитель: $a^{8}(1 + a + a^{2})$
   Знаменатель: $a^{-6}(1 + a + a^{2})$
   Сокращаем общий множитель $(1 + a + a^{2})$:
   $\frac{a^{8}}{a^{-6}} = a^{8 - (-6)} = a^{14}$
   Ответ: $a^{14}$.
3. Вычислите:
   1. $\sqrt{0,025 \cdot 0,4 \cdot 3,6 \cdot 1000}$
      Решение:
      $0,025 \cdot 0,4 = 0,01$; $3,6 \cdot 1000 = 3600$
      $0,01 \cdot 3600 = 36$
      $\sqrt{36} = 6$
      Ответ: 6.
   2. $\sqrt{7+4 \sqrt{3}} \cdot \sqrt{7-4 \sqrt{3}}$
      Решение:
      $\sqrt{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})} = \sqrt{7^{2} - (4\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{49 - 48} = \sqrt{1} = 1$
      Ответ: 1.
   3. $\sqrt{(3 \sqrt{2}-5)^{2}}+\sqrt{(4-3 \sqrt{2})^{2}}$
      Решение:
      $\sqrt{(3\sqrt{2} - 5)^{2}} = |3\sqrt{2} - 5| = 5 - 3\sqrt{2}$ (т.к. $3\sqrt{2} \approx 4,24 < 5$)
      $\sqrt{(4 - 3\sqrt{2})^{2}} = |4 - 3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2} - 4$ (т.к. $3\sqrt{2} \approx 4,24 > 4$)
      Сумма: $(5 - 3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2} - 4) = 1$
      Ответ: 1.
4. Решите неравенство: $6(1+y)-5(3 y+1)>10$
   Решение:
   Раскроем скобки:
   $6 + 6y - 15y - 5 > 10$
   Упростим:
   $1 - 9y > 10$
   $-9y > 9$
   $y < -1$ (знак неравенства меняется при делении на отрицательное число)
   Ответ: $y < -1$.
5. Задача. От прямоугольного листа картона, длина которого 32 см, а ширина 24 см, отрезали по углам равные квадраты, а из оставшейся части склеили коробку, площадь основания которой 384 см$^{2}$. Найти сторону квадрата.
   Решение: Пусть сторона квадрата равна $x$ см. Тогда размеры основания коробки:
   Длина: $32 - 2x$ см
   Ширина: $24 - 2x$ см
   Площадь основания:
   $(32 - 2x)(24 - 2x) = 384$
   Раскроем скобки:
   $768 - 64x - 48x + 4x^{2} = 384$
   Упростим:
   $4x^{2} - 112x + 384 = 0$
   Разделим на 4:
   $x^{2} - 28x + 96 = 0$
   Решим квадратное уравнение:
   $D = 784 - 384 = 400$
   $x = \frac{28 \pm 20}{2}$
   $x_1 = 24$ (не подходит, так как $2 \cdot 24 = 48 > 32$), $x_2 = 4$
   Ответ: 4 см.
6. $\mathrm{x}_{1}$ и $\mathrm{x}_{2}$ — корни уравнения $\mathrm{x}^{2}+7 \mathrm{x}-18=0$. Не решая уравнения, найдите значения выражения $\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}$
   Решение: По теореме Виета:
   $x_1 + x_2 = -7$, $x_1 x_2 = -18$
   Преобразуем выражение:
   $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^{2} + x_2^{2}}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^{2} - 2x_1 x_2}{x_1 x_2}$
   Подставим значения:
   $\frac{(-7)^{2} - 2 \cdot (-18)}{-18} = \frac{49 + 36}{-18} = \frac{85}{-18} = -\frac{85}{18}$
   Ответ: $-\frac{85}{18}$.