Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 8 в 9 класс 2015 год вариант 1-3

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2015 год

1. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $(\mathrm{y}+\mathrm{x})(\mathrm{y}-2 \mathrm{x})=0$
   
2. Доказать, что при любых х и у выполняется неравенство $x^{2}+2 x y+4 y^{2} \geq 0$
   
3. Выяснить, при каких значениях а корни уравнения $x^{2}-3 a x+a^{2}=0$ таковы, что сумма их квадратов равна 7/4
   
4. Сторона треугольника равна 2 , прилежащие к ней углы $30^{\circ}$ и $45^{\circ} .$ Найти остальные стороны.
   
5. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $\left(\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}\right)(\mathrm{y}+3 \mathrm{x})=0$
   
6. Доказать, что при любых х и у выполняется неравенство $2 \mathrm{xy}-\mathrm{y}^{2}-3 \mathrm{x}^{2} \leq 0$
   
7. Выяснить, при каких значениях а один из корней уравнения $x^{2}-3,75 x+a^{3}=0$ будет квадратом другого.
   
8. Дан отрезок длиной 1. С помощью циркуля и линейки построить отрезок длиной $\sqrt{2}$
   
9. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $\mathrm{y}^{2}=\mathrm{x}^{2}$
   
10. Доказать, что при любых х и у выполняется неравенство $2 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{xy}+2 \mathrm{y}^{2} \geq 0$
    
11. Выяснить, при каких значениях а отношение корней уравнения $x^{2}-4 a x+3 a=0$ равно трем.
    
12. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найти высоту из прямого угла
    Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $(\mathrm{y}+1)^{2}+(\mathrm{x}-2)^{2}=0$
    
13. Доказать, что при любых х и у выполняется неравенство $2 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{y}^{2} \geq(\mathrm{x}+\mathrm{y})^{2}$
    
14. Выяснить, при каких значениях а один из корней уравнения $x^{2}-2 a x+4 a-1=0$ на два больше другого.
    
15. В равнобокой трапеции основания равны 2 и 1 , боковые стороны равны 1 . Найти диагонали.
    
16. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $(\mathrm{y}+\mathrm{x}) /(\mathrm{y}-\mathrm{x})=0$
    
17. Доказать, что при любых х и у выполняется неравенство $5 \mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{xy}+2 \mathrm{y}^{2} \geq 0$
    
18. Выяснить, при каких значениях а сумма корней уравнения $x^{2}-\left(a^{2}-5 a-14\right) x+a=0$ равна 0.
    
19. Дан отрезок длиной 1. С помощью циркуля и линейки построить отрезок длиной $\sqrt{5} .$

Решения задач

1. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $(\mathrm{y}+\mathrm{x})(\mathrm{y}-2 \mathrm{x})=0$
   Решение: Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, уравнение задаёт объединение двух прямых:
   $y + x = 0$ (прямая с угловым коэффициентом -1)
   и
   $y - 2x = 0$ (прямая с угловым коэффициентом 2).
   Ответ: две прямые $y = -x$ и $y = 2x$.
2. Доказать, что при любых х и у выполняется неравенство $x^{2}+2 x y+4 y^{2} \geq 0$
   Решение: Представим выражение в виде суммы квадратов:
   $x^2 + 2xy + 4y^2 = (x + y)^2 + 3y^2$.
   Сумма квадратов всегда неотрицательна, что доказывает неравенство.
   Ответ: доказано.
3. Выяснить, при каких значениях а корни уравнения $x^{2}-3 a x+a^{2}=0$ таковы, что сумма их квадратов равна $\frac{7}{4}$
   Решение: По теореме Виета:
   $x_1 + x_2 = 3a$,
   $x_1x_2 = a^2$.
   Сумма квадратов корней:
   $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9a^2 - 2a^2 = 7a^2$.
   По условию $7a^2 = \frac{7}{4} \Rightarrow a^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow a = \pm\frac{1}{2}$.
   Ответ: $a = \pm\frac{1}{2}$.
4. Сторона треугольника равна 2 , прилежащие к ней углы $30^{\circ}$ и $45^{\circ} .$ Найти остальные стороны.
   Решение: Третий угол треугольника: $180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$.
   По теореме синусов:
   $\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{2}{\sin 105^\circ}$.
   Вычисляем:
   $\sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
   Тогда:
   $a = \frac{2 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{2 \cdot 0,5}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$,
   $b = \frac{2 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2$.
   Ответ: $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ и 2.
5. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $\left(\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}\right)(\mathrm{y}+3 \mathrm{x})=0$
   Решение: Уравнение распадается на два случая:
   $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0$ (вертикальные прямые $x = 0$ и $x = 2$),
   $y + 3x = 0$ (прямая $y = -3x$).
   Ответ: объединение трёх прямых $x = 0$, $x = 2$, $y = -3x$.
6. Доказать, что при любых х и у выполняется неравенство $2 \mathrm{xy}-\mathrm{y}^{2}-3 \mathrm{x}^{2} \leq 0$
   Решение: Перепишем неравенство:
   $-3x^2 + 2xy - y^2 \leq 0 \Rightarrow 3x^2 - 2xy + y^2 \geq 0$.
   Представим как квадрат:
   $3x^2 - 2xy + y^2 = (\sqrt{3}x - \frac{y}{\sqrt{3}})^2 + \frac{2y^2}{3} \geq 0$.
   Ответ: доказано.
7. Выяснить, при каких значениях а один из корней уравнения $x^{2}-3,75 x+a^{3}=0$ будет квадратом другого.
   Решение: Пусть корни $t$ и $t^2$. По теореме Виета:
   $t + t^2 = 3,75$,
   $t \cdot t^2 = a^3 \Rightarrow t^3 = a^3 \Rightarrow t = a$.
   Решаем уравнение для $t$:
   $t^2 + t - 3,75 = 0 \Rightarrow t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 15}}{2} = \frac{-1 \pm 4}{2}$.
   Получаем $t = 1,5$ или $t = -2,5$. Тогда $a = 1,5$ или $a = -2,5$.
   Проверка дискриминанта: $D = (3,75)^2 - 4a^3 \geq 0$.
   Ответ: $a = 1,5$ и $a = -2,5$.
8. Дан отрезок длиной 1. С помощью циркуля и линейки построить отрезок длиной $\sqrt{2}$
   Решение: Строим квадрат со стороной 1. Диагональ квадрата будет равна $\sqrt{2}$.
   Ответ: диагональ квадрата со стороной 1.
9. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $\mathrm{y}^{2}=\mathrm{x}^{2}$
   Решение: Уравнение равносильно $y = x$ или $y = -x$.
   Ответ: две прямые $y = x$ и $y = -x$.
10. Доказать, что при любых х и у выполняется неравенство $2 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{xy}+2 \mathrm{y}^{2} \geq 0$
    Решение: Представим выражение:
    $2x^2 + 2xy + 2y^2 = 2(x^2 + xy + y^2) = 2\left(\left(x + \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3y^2}{4}\right) \geq 0$.
    Ответ: доказано.
11. Выяснить, при каких значениях а отношение корней уравнения $x^{2}-4 a x+3 a=0$ равно трем.
    Решение: Пусть корни $k$ и $3k$. По теореме Виета:
    $k + 3k = 4a \Rightarrow 4k = 4a \Rightarrow k = a$,
    $k \cdot 3k = 3a \Rightarrow 3k^2 = 3a \Rightarrow k^2 = a$.
    Подставляя $k = a$, получаем $a^2 = a \Rightarrow a(a - 1) = 0 \Rightarrow a = 0$ или $a = 1$.
    Проверка дискриминанта: $D = (4a)^2 - 12a = 16a^2 - 12a \geq 0$.
    При $a = 0$: уравнение $x^2 = 0$ (корень 0, отношение не определено).
    При $a = 1$: уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$ с корнями 1 и 3 (отношение 3).
    Ответ: $a = 1$.
12. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найти высоту из прямого угла.
    Решение: Гипотенуза: $\sqrt{12^2 + 16^2} = 20$.
    Площадь треугольника: $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$.
    Высота из прямого угла: $h = \frac{2 \cdot 96}{20} = 9,6$.
    Ответ: 9,6.
13. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $(\mathrm{y}+1)^{2}+(\mathrm{x}-2)^{2}=0$
    Решение: Сумма квадратов равна нулю только при $y + 1 = 0$ и $x - 2 = 0$.
    Ответ: точка $(2; -1)$.
14. Доказать, что при любых х и у выполняется неравенство $2 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{y}^{2} \geq(\mathrm{x}+\mathrm{y})^{2}$
    Решение: Преобразуем неравенство:
    $2x^2 + 2y^2 - x^2 - 2xy - y^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 - 2xy + y^2 \geq 0 \Rightarrow (x - y)^2 \geq 0$.
    Ответ: доказано.
15. Выяснить, при каких значениях а один из корней уравнения $x^{2}-2 a x+4 a-1=0$ на два больше другого.
    Решение: Пусть корни $t$ и $t + 2$. По теореме Виета:
    $t + (t + 2) = 2a \Rightarrow 2t + 2 = 2a \Rightarrow t = a - 1$,
    $t(t + 2) = 4a - 1$.
    Подставляем $t = a - 1$:
    $(a - 1)(a + 1) = 4a - 1 \Rightarrow a^2 - 1 = 4a - 1 \Rightarrow a^2 - 4a = 0 \Rightarrow a(a - 4) = 0$.
    Ответ: $a = 0$ или $a = 4$.
16. В равнобокой трапеции основания равны 2 и 1 , боковые стороны равны 1 . Найти диагонали.
    Решение: Опустим высоты из вершин меньшего основания. Разность оснований: $2 - 1 = 1$. Проекции боковых сторон: $0,5$.
    Высота трапеции: $h = \sqrt{1^2 - 0,5^2} = \sqrt{0,75} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
    Диагональ: $d = \sqrt{(1 + 0,5)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{2,25 + 0,75} = \sqrt{3}$.
    Ответ: $\sqrt{3}$.
17. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $\frac{\mathrm{y}+\mathrm{x}}{\mathrm{y}-\mathrm{x}}=0$
    Решение: Дробь равна нулю при $y + x = 0$ и $y - x \neq 0$.
    Ответ: прямая $y = -x$ без точки пересечения с $y = x$.
18. Доказать, что при любых х и у выполняется неравенство $5 \mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{xy}+2 \mathrm{y}^{2} \geq 0$
    Решение: Рассмотрим квадратичную форму. Дискриминант:
    $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 36 - 40 = -4 < 0$.
    Так как коэффициент при $x^2$ положителен, неравенство выполняется всегда.
    Ответ: доказано.
19. Выяснить, при каких значениях а сумма корней уравнения $x^{2}-\left(a^{2}-5 a-14\right) x+a=0$ равна 0.
    Решение: Сумма корней по теореме Виета: $a^2 - 5a - 14 = 0$.
    Решаем квадратное уравнение:
    $a = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2} \Rightarrow a = 7$ или $a = -2$.
    Проверка дискриминанта: $D = (a^2 - 5a - 14)^2 - 4a \geq 0$.
    Ответ: $a = 7$ и $a = -2$.
20. Дан отрезок длиной 1. С помощью циркуля и линейки построить отрезок длиной $\sqrt{5}$
    Решение: Строим прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2. Гипотенуза будет равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
    Ответ: гипотенуза треугольника с катетами 1 и 2.