Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 7 в 8 класс 2015 год вариант 1-2

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2015 год

9 класс

1. Разность двух чисел равна 5, а разность их квадратов равна 45. Найдите эти два числа.
2. Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть равна $123456789 ?$
3. Том Сойер и Гек Финн вместе могут покрасить забор за 10 минут, а один Том Сойер за 15 минут. За сколько минут покрасит забор один Гек Финн?
4. Внутри правильного треугольника есть точка, которая удалена от сторон треугольника соответственно на 3,4 и 5 см. Найти высоту треугольника.
   
   8 класс
5. Найдите наименьшее трехзначное число, сумма цифр которого равна $22 .$
6. Масса состава поезда из паровоза и 15 вагонов равна 370,5 тонн. Масса паровоза меньше массы 4 вагонов на 13,3 тонны. Найти массу вагона
7. Можно ли 345 литров молока разлить по двухлитровым, четырехлитровым и восьмилитровым бидонам так, чтобы в бидонах не осталось пустого места?

Решения задач

1. Разность двух чисел равна 5, а разность их квадратов равна 45. Найдите эти два числа.
   Решение: Пусть числа равны $x$ и $y$, где $x > y$. По условию:
   $\begin{cases} x - y = 5 \\ x^2 - y^2 = 45 \end{cases}$
   Используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Подставим известные значения:
   $45 = 5 \cdot (x + y) \Rightarrow x + y = 9$
   Решаем систему:
   $\begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = 9 \end{cases} \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$, тогда $y = 7 - 5 = 2$
   Ответ: 7 и 2.
2. Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть равна $123456789$?
   Решение: Пусть первое число $n$. Тогда сумма четырёх последовательных чисел:
   $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6$
   По условию: $4n + 6 = 123456789 \Rightarrow 4n = 123456783 \Rightarrow n = 30864195,75$
   Поскольку $n$ должно быть натуральным, ответ отрицательный.
   Ответ: нет.
3. Том Сойер и Гек Финн вместе могут покрасить забор за 10 минут, а один Том Сойер за 15 минут. За сколько минут покрасит забор один Гек Финн?
   Решение: Обозначим работу как 1. Совместная производительность: $\frac{1}{10}$ работы в минуту. Производительность Тома: $\frac{1}{15}$. Тогда производительность Гека:
   $\frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$
   Значит, Гек выполнит работу за 30 минут.
   Ответ: 30.
4. Внутри правильного треугольника есть точка, которая удалена от сторон треугольника соответственно на 3,4 и 5 см. Найти высоту треугольника.
   Решение: Площадь правильного треугольника можно выразить через высоту $h$ и сторону $a$:
   $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
   С другой стороны, площадь равна сумме площадей трёх треугольников, образованных точкой и сторонами:
   $S = \frac{a \cdot 3}{2} + \frac{a \cdot 4}{2} + \frac{a \cdot 5}{2} = \frac{a(3 + 4 + 5)}{2} = 6a$
   Приравниваем выражения:
   $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = 6a \Rightarrow a = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$
   Высота треугольника: $h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 12$ см.
   Ответ: 12 см.
5. Найдите наименьшее трехзначное число, сумма цифр которого равна 22.
   Решение: Минимальное трёхзначное число с суммой цифр 22 должно иметь наименьшую сотню. Проверим число 499: $4 + 9 + 9 = 22$. Меньшие варианты (например, 399) дают сумму $3 + 9 + 9 = 21$, что не подходит.
   Ответ: 499.
6. Масса состава поезда из паровоза и 15 вагонов равна 370,5 тонн. Масса паровоза меньше массы 4 вагонов на 13,3 тонны. Найти массу вагона.
   Решение: Пусть масса вагона $x$ тонн. Тогда масса паровоза: $4x - 13,3$ тонн. Уравнение:
   $(4x - 13,3) + 15x = 370,5 \Rightarrow 19x = 383,8 \Rightarrow x = 20,2$
   Ответ: 20,2 тонны.
7. Можно ли 345 литров молока разлить по двухлитровым, четырехлитровым и восьмилитровым бидонам так, чтобы в бидонах не осталось пустого места?
   Решение: Все типы бидонов имеют чётный объём. Сумма чётных чисел всегда чётна. Поскольку 345 — нечётное число, задача не имеет решения.
   Ответ: нет.