Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 7 в 8 класс 2015 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2015 год

Вариант 1

1. Разложите на множители:
   1. $\mathrm{y}^{2}-\mathrm{x}^{2}+\mathrm{xy}^{2}-\mathrm{x}^{2} \mathrm{y}$;
   2. $\mathrm{a}^{2}+5 \mathrm{a}-6$
   3. $16-(a-2)^{2}$
2. Найдите значение выражения: $4 \mathrm{a}^{2}-12 \mathrm{a} \mathrm{B}+9 \mathrm{~s}^{2}$ при $\mathrm{a}=4,5$ и в $=5 \frac{1}{3}$
3. Постройте график функции $y=3 x-5$ Задайте какую-нибудь функцию, график которой параллелен графику данной функции.
4. Решите уравнение: $$ (x-6)^{2}-x(x+8)=37 $$
5. Упростите выражение: $\left(-2 \mathrm{a}^{3} \mathrm{~B}^{2}\right)^{4} \cdot\left(\frac{1}{2} \mathrm{aB}^{4}\right)^{3} .$
6. Задача. Катер на подводных крыльях прошел по течению реки за 8 часов такое же расстояние, какое он проходит за 9 часов против течения. Скорость течения 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Решения задач

1. Разложите на множители:
   1. $\mathrm{y}^{2}-\mathrm{x}^{2}+\mathrm{xy}^{2}-\mathrm{x}^{2} \mathrm{y}$
      Решение: Группируем слагаемые:
      $(y^2 - x^2) + (xy^2 - x^2y) = (y - x)(y + x) + xy(y - x) = (y - x)(y + x + xy)$
      Ответ: $(y - x)(y + x + xy)$.
      
      
   2. $\mathrm{a}^{2}+5 \mathrm{a}-6$
      Решение: Находим корни квадратного трёхчлена:
      $a^2 + 5a - 6 = (a + 6)(a - 1)$
      Ответ: $(a + 6)(a - 1)$.
      
      
   3. $16-(a-2)^{2}$
      Решение: Представляем как разность квадратов:
      $4^2 - (a - 2)^2 = (4 - (a - 2))(4 + (a - 2)) = (6 - a)(a + 2)$
      Ответ: $(6 - a)(a + 2)$.
   
   
   
2. Найдите значение выражения: $4 \mathrm{a}^{2}-12 \mathrm{a} \mathrm{B}+9 \mathrm{~s}^{2}$ при $\mathrm{a}=4,5$ и $\mathrm{B}=5 \frac{1}{3}$
   Решение: Заметим, что выражение представляет собой квадрат разности:
   $(2a - 3B)^2 = (2 \cdot 4,5 - 3 \cdot \frac{16}{3})^2 = (9 - 16)^2 = (-7)^2 = 49$
   Ответ: 49.
   
   
3. Постройте график функции $y=3 x-5$. Задайте какую-нибудь функцию, график которой параллелен графику данной функции.
   Решение: График функции $y=3x-5$ — прямая с угловым коэффициентом 3. Параллельные графики имеют такой же угловой коэффициент, например: $y=3x+2$.
   Ответ: $y=3x+2$ (или любая функция вида $y=3x+C$).
   
   
4. Решите уравнение: $(x-6)^{2}-x(x+8)=37$
   Решение: Раскроем скобки и упростим:
   $x^2 - 12x + 36 - x^2 - 8x = 37$
   $-20x + 36 = 37$
   $-20x = 1$
   $x = -\frac{1}{20}$
   Ответ: $-\frac{1}{20}$.
   
   
5. Упростите выражение: $\left(-2 \mathrm{a}^{3} \mathrm{~B}^{2}\right)^{4} \cdot\left(\frac{1}{2} \mathrm{aB}^{4}\right)^{3}$
   Решение: Возведём множители в степени:
   $(-2)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot (B^2)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot a^3 \cdot (B^4)^3 = 16a^{12}B^8 \cdot \frac{1}{8}a^3B^{12} = 2a^{15}B^{20}$
   Ответ: $2a^{15}B^{20}$.
   
   
6. Задача. Катер на подводных крыльях прошел по течению реки за 8 часов такое же расстояние, какое он проходит за 9 часов против течения. Скорость течения 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера.
   Решение: Пусть собственная скорость катера $v$ км/ч. Тогда:
   $8(v + 3) = 9(v - 3)$
   $8v + 24 = 9v - 27$
   $v = 51$ км/ч
   Ответ: 51 км/ч.