Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 6 в 7 класс вариант 4

1. В коробке лежат синие, красные и зеленые карандаши. Всего 20 штук. Синих в 3 раза больше, чем зеленых, красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей? (Укажите все ответы и докажите, что других нет.)
2. Из числа $100..0 \; (25 \; нулей)$ вычли число 25. Чему равна сумма цифр полученной разности?
3. На стороне прямоугольника, периметр которого 42 дм, поставили точку. Эта точка разделила сторону на два отрезка, один из которых в два раза больше другого. Через точку провели отрезок, который разделил прямоугольник на два других прямоугольника. Найдите стороны и площади получившихся прямоугольников, если известно, что одна из сторон исходного прямоугольника равна стороне квадрата, площадь которого 81 дм².
4. Крестьянин с волком, козой и мешком капусты подошел к реке. Ему надо переправиться на другой берег, однако в лодке вместе с ним может поместиться либо волк, либо коза, либо капуста. Оставшись на берегу без крестьянина, волк съест козу, а коза — капусту. Как крестьянину переправиться без потерь?
5. Аня, Боря и Вася и Гена прошли один и тот же тест из 6 вопросов, на каждый из которых можно ответить «да» или «нет». Аня ответила «нет», «нет», «да», «да», «да», «да». Боря ответил «да», «нет», «нет», «да», «да», «да». Вася ответил «нет», «да», «нет», «да», «да», «да». Гена ответил «нет», «да», «да», «нет», «нет», «нет». Оказалось, что у Ани два неверных ответа, а у Бори только два верных. Сколько верных ответов у Васи и сколько у Гены?

Решения задач

1. В коробке лежат синие, красные и зеленые карандаши. Всего 20 штук. Синих в 3 раза больше, чем зеленых, красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей?
   Решение: Пусть зеленых карандашей \( G \). Тогда синих \( 3G \), красных \( K \). Общее число:
   \( G + 3G + K = 20 \) \(\Rightarrow\) \( 4G + K = 20 \). Также \( K < 3G \). Переберём допустимые \( G \):
   \( G=3 \): \( K=20-12=8 \). Проверка: \( 8 < 9 \) ⇒ верно.
   \( G=4 \): \( K=20-16=4 \). Проверка: \( 4 < 12 \) ⇒ верно.
   \( G=5 \): \( K=0 \), но красные карандаши есть ⇒ не подходит.
   Ответ: 8 или 4.
2. Из числа \( 1000\ldots0 \) (25 нулей) вычли число 25. Чему равна сумма цифр полученной разности?
   Решение: \( 10^{25} - 25 = 999\ldots9975 \) (23 девятки + 75).
   Сумма цифр: \( 23 \cdot 9 + 7 + 5 = 207 + 12 = 219 \).
   Ответ: 219.
3. Периметр прямоугольника 42 дм. Одна из сторон равна 9 дм (сторона квадрата площадью 81 дм²). Другая сторона: \( \frac{42}{2} - 9 = 12 \, \text{дм} \).
   Точка делит сторону на отрезки \( 4 \, \text{дм} \) и \( 8 \, \text{дм} \).
   Новые прямоугольники: \( 9 \times 4 \, (\text{площадь } 36 \, \text{дм}^2) \) и \( 9 \times 8 \, (\text{площадь } 72 \, \text{дм}^2) \).
   Ответ: Стороны первого: \( 9 \, \text{дм}, 4 \, \text{дм} \), площадь \( 36 \, \text{дм}^2 \); второго: \( 9 \, \text{дм}, 8 \, \text{дм} \), площадь \( 72 \, \text{дм}^2 \).
4. Переправа крестьянина с волком, козой и капустой:
   1. Перевезти козу.
   2. Вернуться.
   3. Перевезти волка, взять козу обратно.
   4. Перевезти капусту.
   5. Вернуться за козой.
   Ответ: Переправить козу туда и обратно, затем волка или капусту с возвращением козы.
5. Определение верных ответов: Правильные ответы: \(\text{Н}, \text{Н}, \text{Д}, \text{Н}, \text{Н}, \text{Д}\).
   У Васи совпадают ответы на вопросы 1 и 6 ⇒ 2 верных.
   У Гены совпадают ответы на вопросы 1, 4, 5 ⇒ 4 верных.
   Ответ: Василий — 2, Гена — 4.