Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 6 в 7 класс вариант 1

1. Разложите число 350 на простые множители.
2. Вычислить НОД чисел 150 и 175.
3. Сколько натуральных чисел расположено на координатной прямой между числами $-4$ и $5$?
4. Решите уравнение: $3,8x - 5,6 = 6,6x - 8,4$.
5. В классе 20 учеников, 75% из них изучают английский язык. Сколько учеников изучают английский язык?
6. Найдите неизвестный член пропорции: $0,75 : 1,5 = 5 : x$.
7. Упростите выражение $3(2x - 1) - 2(2 - 4x)$.
8. Сколько понадобится времени 9 бульдозерам, чтобы расчистить площадку, которую 7 бульдозеров расчищают за 6,3 ч?
9. Садоводы собрали 85 тонн яблок трёх сортов. Масса яблок первого сорта составляет 45% массы яблок второго сорта, а масса яблок третьего сорта составляет $\tfrac{5}{9}$ массы яблок первого сорта. Сколько тонн яблок каждого сорта собрали садоводы?
10. Луиза испекла 50 вкусностей, часть из которых — кексы, а часть — печенье. Чтобы выпечка остыла, Луиза расставила её в ряд. Рядом с каждым кексом точно есть печенье. Какое наибольшее количество кексов могла испечь Луиза?

Решения задач

1. Разложите число 350 на простые множители.
   Решение:
   Делим число 350 на наименьшие простые множители:
   $350 = 2 \cdot 175 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 7$
   Ответ: $350 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 7$.
2. Вычислить НОД чисел 150 и 175.
   Решение:
   Разложим числа на простые множители:
   $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^{2}$,
   $175 = 5^{2} \cdot 7$.
   Общие множители: $5^{2} = 25$
   Ответ: 25.
3. Сколько натуральных чисел расположено на координатной прямой между числами $-4$ и $5$?
   Решение:
   Натуральные числа: $1, 2, 3, 4, 5, ...$. Между $-4$ и $5$ находятся натуральные числа $1, 2, 3, 4$. Количество: $4$.
   Ответ: 4.
4. Решите уравнение: $3,8x - 5,6 = 6,6x - 8,4$.
   Решение:
   $3,8x - 6,6x = -8,4 + 5,6$
   $-2,8x = -2,8$
   $x = \frac{-2,8}{-2,8} = 1$
   Ответ: 1.
5. В классе 20 учеников, 75% из них изучают английский язык. Сколько учеников изучают английский язык?
   Решение:
   $75% \text{ от } 20 = 0,75 \cdot 20 = 15$
   Ответ: 15.
6. Найдите неизвестный член пропорции: $0,75 : 1,5 = 5 : x$.
   Решение:
   По свойству пропорции: $0,75 \cdot x = 1,5 \cdot 5$
   $0,75x = 7,5$
   $x = \frac{7,5}{0,75} = 10$
   Ответ: 10.
7. Упростите выражение $3(2x - 1) - 2(2 - 4x)$.
   Решение:
   Раскрываем скобки:
   $3 \cdot 2x - 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 4x = 6x - 3 - 4 + 8x$
   Складываем подобные:
   $14x - 7$
   Ответ: 14x - 7.
8. Сколько понадобится времени 9 бульдозерам, чтобы расчистить площадку, которую 7 бульдозеров расчищают за 6,3~ч?
   Решение:
   Объем работы постоянный. Время обратно пропорционально количеству бульдозеров:
   $7 \cdot 6,3 = 9 \cdot x$
   $x = \frac{7 \cdot 6,3}{9} = \frac{44,1}{9} = 4,9$
   Ответ: 4,9 ч.
9. Садоводы собрали 85 тонн яблок трёх сортов. Масса яблок первого сорта составляет 45% массы яблок второго сорта, а масса яблок третьего сорта составляет $\tfrac{5}{9}$ массы яблок первого сорта. Сколько тонн яблок каждого сорта собрали садоводы?
   Решение:
   Пусть масса яблок второго сорта — $x$ тонн, тогда:
   Первый сорт: $0,45x$,
   Третий сорт: $\frac{5}{9} \cdot 0,45x = 0,25x$.
   Уравнение:
   $x + 0,45x + 0,25x = 85$
   $1,7x = 85$
   $x = 50$
   Тогда:
   Второй сорт: $50$ т,
   Первый сорт: $0,45 \cdot 50 = 22,5$ т,
   Третий сорт: $0,25 \cdot 50 = 12,5$ т.
   Ответ: 22,5 т; 50 т; 12,5 т.
10. Луиза испекла 50 вкусностей, часть из которых — кексы, а часть — печенье. Чтобы выпечка остыла, Луиза расставила её в ряд. Рядом с каждым кексом точно есть печенье. Какое наибольшее количество кексов могла испечь Луиза?
    Решение:
    Для максимального количества кексов чередуем их с печеньем:
    Варианты расстановки вида "кекс-печенье-кекс-печенье..." Максимально возможно $25$ кексов и $25$ печений.
    Ответ: 25.