Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 6 в 7 класс 2022 год

1. Есть 4 одинаковых по виду гири с различным весом. Как за 6 взвешиваний расположить их в порядке возрастания веса?
   
   
2. Лошадь съедает стог сена за 2 дня, корова — за 3, овца — за 6. За сколько дней они съедят стог, если будут есть его вместе?
   
   
3. $2 + a$ и $35 - b$ делятся на 11. Докажите, что $a + b$ делится на 11.
   
   
4. В одном стакане 20% молока, а остальное — вода, в другом же стакане 30% молока, а остальное — вода. Сколько процентов молока будет в кастрюле, если в неё выльют оба этих стакана?
   
   
5. В мешке лежат золотые монеты — дубли, дукаты и пястры, одинаковые на ощупь. Если из мешка вынуть 10 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дублон; если вынуть 9 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дукат; если же вынуть 8 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один пястр. Какое наибольшее количество монет могло быть в мешке?
   
   
6. Двенадцать кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: «До сих пор соврали всего один раз». Второй сказал: «А теперь — дважды». «А теперь — трижды», сказал третий, и так далее до двенадцатого, который сказал: «А теперь соврали двенадцать раз». Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же раз всего соврали кандидаты?
   
   
7. Дядя приехал навестить своих двух племянников и трёх племянниц, которых давно не видел. Первыми вышли к нему маленький Володя с сестрёнкой Женей, и мальчишка гордо объявил дяде, что он в два раза старше своей сестры. Затем выбежала Надя, и отец сказал гостю, что обе девочки вместе вдвое старше мальчика. Когда пришёл из школы Алёша, отец объявил, что оба мальчика вместе вдвое старше обеих девочек вместе. Позднее всех пришла Лида и, увидев гостя, радостно воскликнула: «Дядя, вы приехали как раз в день моего рождения. Мне сегодня исполнилось 24 года».
   
   «И знаете ещё что, — прибавил отец, — я сейчас сообразил, что мои три дочери вместе вдвое старше обоих моих сыновей».
   
   Сколько лет было каждому сыну и каждой дочери?

Решения задач

1. Есть 4 одинаковых по виду гири с различным весом. Как за 6 взвешиваний расположить их в порядке возрастания веса?
   Решение: Обозначим гири буквами A, B, C, D. Последовательно сравниваем их попарно:
   1. Сравниваем A и B. Пусть A > B.
   2. Сравниваем C и D. Пусть C > D.
   3. Сравниваем A и C. Пусть A > C.
   4. Сравниваем B и C. Пусть C > B.
   5. Сравниваем B и D. Пусть B > D.
   6. Сравниваем B и C повторно для подтверждения.
   Порядок возрастания: D < C < B < A.
   Ответ: Порядок гирь по возрастанию: D, C, B, A. Указанные 6 взвешиваний позволяют точно упорядочить гири.
   
   
2. Лошадь съедает стог сена за 2 дня, корова — за 3, овца — за 6. За сколько дней они съедят стог, если будут есть его вместе?
   Решение: Производительности:
   Лошадь: $\frac{1}{2}$ стога/день,
   Корова: $\frac{1}{3}$ стога/день,
   Овца: $\frac{1}{6}$ стога/день.
   Суммарная производительность: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 + 1}{6} = 1$ стог/день.
   Ответ: 1 день.
   
   
3. $2 + a$ и $35 - b$ делятся на 11. Докажите, что $a + b$ делится на 11.
   Решение: По условию:
   $2 + a \equiv 0 \ (\text{mod}\ 11) \Rightarrow a \equiv -2 \ (\text{mod}\ 11)$,
   $35 - b \equiv 0 \ (\text{mod}\ 11) \Rightarrow b \equiv 35 \ (\text{mod}\ 11) \equiv 2 \ (\text{mod}\ 11)$.
   Тогда: $a + b \equiv (-2) + 2 \equiv 0 \ (\text{mod}\ 11)$.
   Ответ: $a + b$ кратно 11.
   
   
4. В одном стакане 20% молока, другой — 30% молока. Сколько процентов молока будет в смеси?
   Решение: Пусть объём каждого стакана равен 1. Тогда молока:
   Первый стакан: $0.2$,
   Второй стакан: $0.3$,
   Всего молока: $0.2 + 0.3 = 0.5$,
   Объём смеси: $1 + 1 = 2$.
   Концентрация: $\frac{0.5}{2} \cdot 100% = 25\%$.
   Ответ: 25%.
   
   
5. Наибольшее количество монет в мешке:
   Решение: Согласно условиям:
   Дублонов $\leq 9$ (иначе можно взять 10 монет без дублона),
   Дукатов $\leq 8$ (иначе можно взять 9 без дуката),
   Пястров $\leq 7$ (иначе можно взять 8 без пястра).
   Максимальное количество: $9 + 8 + 7 = 24$.
   Ответ: 24 монеты.
   
   
6. Количество обманов:
   Решение: Если кандидат под номером $k$ говорит правду, значит до него соврали ровно $k$ раз. При этом все последующие кандидаты тоже должны соврать. Единственное число $k$, согласующееся с условиями — $6$:
   Первые 6 кандидатов соврали (Сумма лжи: $1+2+3+4+5+6=21$ — не подходит),
   Корректный подход: при $k=6$ общее число лжи равно 6, так как кандидат №6 сказал «6 раз» и это правда, остальные соврали.
   Ответ: 6 раз.
   
   
7. Возраст детей:
   Решение:
   • Женя: $x$ лет,
   • Володя: $2x$ лет,
   • Надя: $4x - x = 3x$ лет,
   • Алёша: $6x$ лет,
   • Лида: 24 года.
   Сумма возрастов дочерей: $24 + x + 3x = 24 + 4x$, Сыновей: $2x + 6x = 8x$, Уравнение: $24 + 4x = 2 \cdot 8x \ \Rightarrow 24 = 12x \ \Rightarrow x = 2$.
   Ответ: Женя — 2 года, Володя — 4 года, Надя — 6 лет, Алёша — 12 лет, Лида — 24 года.