Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 5 в 6 класс вариант 1

1. Найдите значение выражения: $(4,1 - 0,66 : 1,2) \cdot 0,6$.
2. Решите уравнение: $9,2x - 6,8x + 0,64 = 1$.
3. В одном ящике $62$ кг яблок, что на $18$ кг больше, чем во втором. Сколько килограммов яблок было в двух ящиках?
4. Найдите значение выражения: \[ 20 : \bigl(6\tfrac{3}{14} + \tfrac{11}{14}\bigr) \;-\; \bigl(4\tfrac{1}{4} - 2\tfrac{3}{4}\bigr) : 5. \]
5. Миша шёл из одного села в другое $0,7$ ч по полю и $0,9$ ч через лес, пройдя всего $5,31$ км. С какой скоростью шёл Миша через лес, если по полю он двигался со скоростью $4,5$ км/ч?
6. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна $4$ см, что составляет $\tfrac{8}{15}$ его длины, а высота составляет $40\%$ длины. Вычислите объём параллелепипеда.
7. Для каждого двузначного числа $10, 11, 12, \dots, 99$ Гарри вычитает из первой цифры последнюю и записывает результат на листе бумаги. Какова сумма всех результатов?
8. Аня ходит в бассейн раз в два дня, Боря — раз в три дня, а Вася — раз в пять дней. Они все были в бассейне 10 марта. Через сколько дней и когда Аня, Боря и Вася встретятся в бассейне снова?
9. Петя построил на столе пирамиду из кубиков (как на рисунке). Кубики он кладёт плотно друг к другу, так что пирамида получилась без пустот и щелей. Сколько кубиков потребовалось Пете для постройки пирамиды?
   % при необходимости вставить изображение графа
   
   
   
10. На острове живут рыцари — которые всегда говорят правду, и лжецы — которые всегда лгут. Каждый из 12 сидящих за круглым столом жителей острова сказал: «Мои соседи — лжец и рыцарь». Сколько рыцарей и сколько лжецов сидит за столом?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: $(4,1 - 0,66 : 1,2) \cdot 0,6$.
   Решение: $4,1 - 0,66 : 1,2 = 4,1 - 0,55 = 3,55$. Далее $3,55 \cdot 0,6 = 2,13$.
   Ответ: 2,13.
2. Решите уравнение: $9,2x - 6,8x + 0,64 = 1$.
   Решение: $(9,2 - 6,8)x + 0,64 = 2,4x + 0,64 = 1$.
   $2,4x = 1 - 0,64 = 0,36 \Rightarrow x = 0,36 : 2,4 = 0,15$.
   Ответ: 0,15.
3. В одном ящике $62$~кг яблок, что на $18$~кг больше, чем во втором. Сколько килограммов яблок было в двух ящиках?
   Решение: Масса второго ящика: $62 - 18 = 44$ кг. Общая масса: $62 + 44 = 106$ кг.
   Ответ: 106 кг.
4. Найдите значение выражения: \[ 20 : \bigl(6\tfrac{3}{14} + \tfrac{11}{14}\bigr) - \bigl(4\tfrac{1}{4} - 2\tfrac{3}{4}\bigr) : 5. \]
   Решение: Переведём смешанные дроби в неправильные: \[ 6\tfrac{3}{14} + \tfrac{11}{14} = \tfrac{87}{14} + \tfrac{11}{14} = \tfrac{98}{14} = 7. \] Первая часть: $20 : 7 = \tfrac{20}{7}$.
   Вторая часть: $4\tfrac{1}{4} - 2\tfrac{3}{4} = \tfrac{17}{4} - \tfrac{11}{4} = \tfrac{6}{4} = \tfrac{3}{2}$. Тогда $\tfrac{3}{2} : 5 = \tfrac{3}{10}$.
   Итоговый результат: $\tfrac{20}{7} - \tfrac{3}{10} = \tfrac{200 - 21}{70} = \tfrac{179}{70} = 2\tfrac{39}{70}$.
   Ответ: $2\tfrac{39}{70}$.
5. Миша шёл из одного села в другое $0,7$~ч по полю и $0,9$~ч через лес, пройдя всего $5,31$~км. С какой скоростью шёл Миша через лес, если по полю он двигался со скоростью $4,5$~км/ч?
   Решение: Путь по полю: $4,5 \cdot 0,7 = 3,15$ км. Путь через лес: $5,31 - 3,15 = 2,16$ км. Скорость через лес: $2,16 : 0,9 = 2,4$ км/ч.
   Ответ: 2,4 км/ч.
6. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна $4$~см, что составляет $\tfrac{8}{15}$ его длины, а высота составляет $40\%$ длины. Вычислите объём параллелепипеда.
   Решение: Длина: $\tfrac{4 \cdot 15}{8} = 7,5$ см. Высота: $7,5 \cdot 0,4 = 3$ см. Объём: $4 \cdot 7,5 \cdot 3 = 90$ см³.
   Ответ: 90 см³.
7. Для каждого двузначного числа $10, 11, 12, \dots, 99$ Гарри вычитает из первой цифры последнюю и записывает результат на листе бумаги. Какова сумма всех результатов?
   Решение: Для двузначного числа "ab" сумма всех разностей $(a - b)$ равна $\sum_{a=1}^{9} \sum_{b=0}^{9} (a - b) = 450 - 405 = 45$.
   Ответ: 45.
8. Аня ходит в бассейн раз в два дня, Боря — раз в три дня, а Вася — раз в пять дней. Они все были в бассейне 10 марта. Через сколько дней и когда Аня, Боря и Вася встретятся в бассейне снова?
   Решение: Наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 5 равно 30. Следовательно, следующая встреча произойдёт через 30 дней — 9 апреля.
   Ответ: через 30 дней, 9 апреля.
9. Петя построил на столе пирамиду из кубиков. Кубики он кладёт плотно друг к другу, так что пирамида получилась без пустот и щелей. Сколько кубиков потребовалось Пете для постройки пирамиды?
   Решение: Предположим, пирамида состоит из трёх слоёв: нижний 4×4 (16 кубиков), средний 3×3 (9 кубиков), верхний 2×2 (4 кубика), вершина — 1 кубик. Итого: 16 + 9 + 4 + 1 = 30 кубиков.
   Ответ: 30 кубиков. (Примечание: точное количество зависит от изображения, укàзанного в задании.)
10. На острове живут рыцари — которые всегда говорят правду, и лжецы — которые всегда лгут. Каждый из 12 сидящих за круглым столом жителей острова сказал: «Мои соседи — лжец и рыцарь». Сколько рыцарей и сколько лжецов сидит за столом?
    Решение: Рассмотрим рыцаря (R) и лжеца (L). Рыцарь утверждает, что соседи R и L — это ложь для пары R-R-R и т.д. Решение приводит к циклической последовательности из групп RR-L: 8 рыцарей и 4 лжеца. Каждый рыцарь окружен R-L, лжецы окружены R-R.
    Ответ: 8 рыцарей и 4 лжеца.