8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 5 в 6 класс 2024 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 04.2024
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ


2024 год


16.04.2024



  1. Какое число нужно вычесть из числителя дроби \( \frac{537}{463} \) и прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить \( \frac{1}{9} \)?

  2. Вычислите: \[ \frac{(4{,}4 \cdot 0{,}25 + 2{,}7 \cdot \frac{1}{9} + 0{,}2 \cdot 0{,}125) : \frac{1}{2}}{(5 - 4 \frac{1}{4}) : 0{,}25} \]

  3. Сравни дроби: \[ \frac{111110}{111111}, \quad \frac{222221}{222223}, \quad \frac{333331}{333334} \] Расположите их в порядке возрастания.

  4. Серёжа купил тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Данил вырвал из этой тетради какие-то 50 страниц и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Докажите, что у него не могла получиться сумма 2000.

  5. На острове рыцарей и лжецов прошли выборы, в которых приняли участие две партии. На выходе с участков каждого проголосовавшего спросили, за какую из партий он голосовал. Оказалось, что людей, сказавших, что они голосовали за вторую партию, вдвое больше, чем поданных за эту партию голосов, а людей, сказавших, что они голосовали за первую партию, вдвое меньше, чем поданных за эту партию голосов. Сколько голосов было подано за первую партию, если известно, что жителей острова, имеющих право голоса — 1800 и все они приняли участие в выборах?

  6. В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Их классный руководитель хочет, чтобы каждый день было двое дежурных: мальчик и девочка. При этом никакая пара не должна дежурить дважды. Сколько дней может продолжаться дежурство?

  7. За 3 часа теплоход прошёл 48 км по течению реки и 16 км против течения. В другой раз тот же теплоход за 5 часов прошёл 72 км по течению реки и 32 км против течения. Определите скорость течения реки и скорость теплохода в стоячей воде.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Какое число нужно вычесть из числителя дроби \( \frac{537}{463} \) и прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить \( \frac{1}{9} \)?
    Решение: Пусть искомое число — \( x \). Составим уравнение: \[ \frac{537 - x}{463 + x} = \frac{1}{9} \] Решаем уравнение: \[ 9(537 - x) = 463 + x \quad \Rightarrow \quad 4833 - 9x = 463 + x \quad \Rightarrow \quad 10x = 4370 \quad \Rightarrow \quad x = 437 \] Проверка: \( \frac{537 - 437}{463 + 437} = \frac{100}{900} = \frac{1}{9} \).
    Ответ: 437.

  2. Вычислите: \[ \frac{(4{,}4 \cdot 0{,}25 + 2{,}7 \cdot \frac{1}{9} + 0{,}2 \cdot 0{,}125) : \frac{1}{2}}{(5 - 4 \frac{1}{4}) : 0{,}25} \]
    Решение: Вычислим числитель и знаменатель отдельно.
    Числитель: \[ 4{,}4 \cdot 0{,}25 = 1{,}1; \quad 2{,}7 \cdot \frac{1}{9} = 0{,}3; \quad 0{,}2 \cdot 0{,}125 = 0{,}025 \] \[ 1{,}1 + 0{,}3 + 0{,}025 = 1{,}425; \quad 1{,}425 : \frac{1}{2} = 2{,}85 \] Знаменатель: \[ 5 - 4\frac{1}{4} = 0{,}75; \quad 0{,}75 : 0{,}25 = 3 \] Итог: \[ \frac{2{,}85}{3} = 0{,}95 \] Ответ: 0,95.

  3. Сравни дроби: \[ \frac{111110}{111111}, \quad \frac{222221}{222223}, \quad \frac{333331}{333334} \] Расположите их в порядке возрастания.
    Решение: Сравним дроби через дополнение до 1: \[ 1 - \frac{111110}{111111} = \frac{1}{111111} \approx 0{,}000009 \] \[ 1 - \frac{222221}{222223} = \frac{2}{222223} \approx 0{,}0000089999 \] \[ 1 - \frac{333331}{333334} = \frac{3}{333334} \approx 0{,}0000089997 \] Чем меньше разность, тем ближе дробь к 1. Следовательно: \[ \frac{111110}{111111} < \frac{222221}{222223} < \frac{333331}{333334} \] Ответ: \( \frac{111110}{111111} \), \( \frac{222221}{222223} \), \( \frac{333331}{333334} \).

  4. Серёжа купил тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Данил вырвал из этой тетради какие-то 50 страниц и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Докажите, что у него не могла получиться сумма 2000.
    Решение: Каждый вырванный лист содержит два последовательных числа: одно чётное, одно нечётное. Сумма двух последовательных чисел нечётна. 50 страниц — 25 листов. Сумма 25 нечётных чисел: \[ 25 \cdot (2k + 1) = 50k + 25 \quad \text{(нечётное число)} \] 2000 — чётное число. Противоречие.
    Ответ: Сумма не может быть чётной.

  5. На острове рыцарей и лжецов прошли выборы, в которых приняли участие две партии. На выходе с участков каждого проголосовавшего спросили, за какую из партий он голосовал. Оказалось, что людей, сказавших, что они голосовали за вторую партию, вдвое больше, чем поданных за эту партию голосов, а людей, сказавших, что они голосовали за первую партию, вдвое меньше, чем поданных за эту партию голосов. Сколько голосов было подано за первую партию, если известно, что жителей острова, имеющих право голоса — 1800 и все они приняли участие в выборах?
    Решение: Пусть за первую партию подано \( x \) голосов, за вторую — \( 1800 - x \). Уравнение: \[ \frac{x}{2} + 2(1800 - x) = 1800 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2} + 3600 - 2x = 1800 \quad \Rightarrow \quad -\frac{3x}{2} = -1800 \quad \Rightarrow \quad x = 1200 \] Ответ: 1200.

  6. В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Их классный руководитель хочет, чтобы каждый день было двое дежурных: мальчик и девочка. При этом никакая пара не должна дежурить дважды. Сколько дней может продолжаться дежурство?
    Решение: Количество уникальных пар: \[ 16 \cdot 9 = 144 \] Ответ: 144 дня.

  7. За 3 часа теплоход прошёл 48 км по течению реки и 16 км против течения. В другой раз тот же теплоход за 5 часов прошёл 72 км по течению реки и 32 км против течения. Определите скорость течения реки и скорость теплохода в стоячей воде.
    Решение: Пусть \( v \) — собственная скорость теплохода, \( u \) — скорость течения. Составим систему: \[ \begin{cases} \frac{48}{v + u} + \frac{16}{v - u} = 3 \\ \frac{72}{v + u} + \frac{32}{v - u} = 5 \end{cases} \] Решение системы: \[ v + u = 24; \quad v - u = 16 \quad \Rightarrow \quad v = 20 \text{ км/ч}, \quad u = 4 \text{ км/ч} \] Ответ: скорость течения 4 км/ч, собственная скорость 20 км/ч.
Материалы школы Юайти