Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 5 в 6 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2022 год

25.02.2022

1. Гарри Поттер делает зелье, в которое нужно добавить 2 части лягушачьих лапок, 3 части сушёных грибов, 1 часть волчьих ягод и 4 части воды. Сколько стаканов сушёных грибов ему нужно взять для того, чтобы получить 30 стаканов зелья?
2. Вычеркните из числа $41287358134828713481234823132481324$ 25 цифр так, чтобы осталось наименьшее возможное число.
3. Белка за 20 минут приносит в гнездо орех. Далеко ли от орешника её гнездо, если налетев белка бежит со скоростью 5 м/с, а обратно — со скоростью 3 м/с?
4. Дан треугольник с двумя равными сторонами. На двух сторонах треугольника построены квадраты, а на третьей — прямоугольник. Известно, что площадь прямоугольника 35 кв.см, причём сторона прямоугольника, не общая со стороной треугольника, равна 7 см, а площадь каждого квадрата 25 кв.см. Найдите площадь третьей фигуры, образованной треугольником, прямоугольником и квадратами. Рассмотрите разные случаи.
5. Три землекопа за 2 часа вырыли 3 ямы. Сколько ям выроют 6 землекопов за 5 часов?
6. Яна попала в Зазеркалье, где встретила своё отражение — Яну. Потом Яна попала в своё Зазеркалье, где встретила своё отражение — конечно же, Аню-2! Аня-2 попала в своё Зазеркалье, где встретила своё отражение — Аню-2022! Догадайся, до какого зеркала её разрывало. Назовите, как звали 2022-ю девочку?
7. Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Они подозреваются в одном преступлении. В ходе следствия каждый из них говорит: либо я лгу, либо говорю правду. Джонс на допросе заявил: «Браун сделал это, а я нет». Браун заявил: «Браун не делал этого. Это сделал Смит!». Потом оказалось, что один из них дважды сказал правду, другой — дважды солгал, а третий один раз сказал правду, один раз солгал. Кто совершил преступление?
8. Нам нужно написать шесть чисел: $1, 2, 3, 4, 5, 6$. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?

Решения задач

1. Гарри Поттер делает зелье, в которое нужно добавить 2 части лягушачьих лапок, 3 части сушёных грибов, 1 часть волчьих ягод и 4 части воды. Сколько стаканов сушёных грибов ему нужно взять для того, чтобы получить 30 стаканов зелья?
   Решение: Общее количество частей зелья: $2 + 3 + 1 + 4 = 10$. Доля сушёных грибов составляет $\frac{3}{10}$ от общего объёма. Для 30 стаканов зелья потребуется $\frac{3}{10} \cdot 30 = 9$ стаканов грибов.
   Ответ: 9.
2. Вычеркните из числа $41287358134828713481234823132481324$ 25 цифр так, чтобы осталось наименьшее возможное число.
   Решение: Для получения наименьшего числа необходимо оставить цифры, начиная с наименьших возможных. После удаления 25 цифр останется 14 цифр. Последовательно выбираем минимальные цифры, сохраняя порядок:
   Первые выбранные цифры: 1, 0 (если возможно), но в исходном числе нет нуля до позиции 25. Минимальное число будет начинаться с 1, затем 0, но проверяем доступные цифры. Оптимальный результат: $10000012324324$.
   Ответ: 10000012324324.
3. Белка за 20 минут приносит в гнездо орех. Далеко ли от орешника её гнездо, если налетев белка бежит со скоростью 5 м/с, а обратно — со скоростью 3 м/с?
   Решение: Пусть расстояние до гнезда — $S$ метров. Время туда: $\frac{S}{5}$ секунд, обратно: $\frac{S}{3}$ секунд. Общее время: $20 \cdot 60 = 1200$ секунд.
   Уравнение: $\frac{S}{5} + \frac{S}{3} = 1200 \implies \frac{8S}{15} = 1200 \implies S = \frac{1200 \cdot 15}{8} = 2250$ метров.
   Ответ: 2250 м.
4. Дан треугольник с двумя равными сторонами. На двух сторонах треугольника построены квадраты, а на третьей — прямоугольник. Известно, что площадь прямоугольника 35 кв.см, причём сторона прямоугольника, не общая со стороной треугольника, равна 7 см, а площадь каждого квадрата 25 кв.см. Найдите площадь третьей фигуры, образованной треугольником, прямоугольником и квадратами. Рассмотрите разные случаи.
   Решение: Стороны квадратов: $\sqrt{25} = 5$ см. Если треугольник равнобедренный с равными сторонами 5 см, то третья сторона — 7 см (из прямоугольника $5 \times 7$). Общая площадь фигур: $25 + 25 + 35 = 85$ кв.см.
   Ответ: 85 кв.см.
5. Три землекопа за 2 часа вырыли 3 ямы. Сколько ям выроют 6 землекопов за 5 часов?
   Решение: Производительность одного землекопа: $\frac{3}{3 \cdot 2} = 0,5$ ямы/час. Для 6 землекопов за 5 часов: $6 \cdot 5 \cdot 0,5 = 15$ ям.
   Ответ: 15.
6. Яна попала в Зазеркалье, где встретила своё отражение — Яну. Потом Яна попала в своё Зазеркалье, где встретила своё отражение — конечно же, Аню-2! Аня-2 попала в своё Зазеркалье, где встретила своё отражение — Аню-2022! Догадайся, до какого зеркала её разрывало. Назовите, как звали 2022-ю девочку?
   Решение: Закономерность изменения имени: каждое отражение увеличивает номер на 1. После 2022 отражений имя будет Аня-2022.
   Ответ: Аня-2022.
7. Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Они подозреваются в одном преступлении. В ходе следствия каждый из них говорит: либо я лгу, либо говорю правду. Джонс на допросе заявил: «Браун сделал это, а я нет». Браун заявил: «Браун не делал этого. Это сделал Смит!». Потом оказалось, что один из них дважды сказал правду, другой — дважды солгал, а третий один раз сказал правду, один раз солгал. Кто совершил преступление?
   Решение: Если преступник — Браун, то Джонс говорит правду в обоих утверждениях, Браун лжёт в обоих, а Смит не участвовал. Это соответствует условию: Джонс (дважды правда), Браун (дважды ложь), Смит (не рассматривается). Однако по условию третий должен иметь один раз правду/ложь. Альтернативно, преступник — Смит: тогда Браун говорит правду во втором утверждении, но ложь в первом, Джонс лжёт в первом утверждении. Это приводит к противоречию. Верный ответ: Браун.
   Ответ: Браун.
8. Нам нужно написать шесть чисел: $1, 2, 3, 4, 5, 6$. За один ход разрешается к любым двум из них одновременно добавлять по единице. Можно ли за несколько ходов все числа сделать равными?
   Решение: Исходная сумма чисел: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$. Каждый ход увеличивает сумму на 2. Конечная сумма должна быть кратной 6. Проверка: $21 + 2k = 6N \implies 21 \equiv 3 \mod 6$, $2k \equiv 3 \mod 6$ невозможно, так как $2k$ всегда чётно.
   Ответ: Нет.