Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 5 в 6 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2025 год

17.03.2025

1. Если автомобиль из пункта $A$ в пункт $B$ будет ехать со скоростью 80 км/ч, то он опоздает на 20 минут, а если будет ехать со скоростью 90 км/ч, то приедет раньше на 10 минут. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$.
2. Умная Ольга задумала число. Она прибавила к нему 5, потом разделила сумму на 3, умножила результат на 7, отняла 8, разделила на 5 и получила 4. Какое число задумала Ольга?
3. Торговец продал товар, имевший небольшой дефект, уступив покупателю 30% от назначенной цены. При этом он имел 16% убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара?
4. На планете Многоручья используются такие меры измерения длины как рука, ладонь и палец. Известно, что рука и 20 пальцев уравновешиваются тремя руками, а 19 рук, ладонь и 15{,}5 пальца уравновешиваются 20 руками и 8 пальцами. Можем ли мы на основании этих данных определить, сколько ладоней уравнивают одну руку?
5. В литературном кружке каждый участник прочитал ровно 5 книг, при этом оказалось, что каждую книгу прочитали ровно 5 участников. Докажите, что участников кружка и книг одинаковое количество.

Решения задач

1. Если автомобиль из пункта $A$ в пункт $B$ будет ехать со скоростью 80 км/ч, то он опоздает на 20 минут, а если будет ехать со скоростью 90 км/ч, то приедет раньше на 10 минут. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B$.
   Решение: Пусть $S$ — расстояние между пунктами, $t$ — плановое время в часах. Тогда:
   $\frac{S}{80} = t + \frac{20}{60}$ (опоздание на 20 минут)
   $\frac{S}{90} = t - \frac{10}{60}$ (приезд раньше на 10 минут)
   Вычтем уравнения:
   $\frac{S}{80} - \frac{S}{90} = \frac{20}{60} + \frac{10}{60}$
   $\frac{9S - 8S}{720} = \frac{30}{60}$
   $\frac{S}{720} = 0,5$
   $S = 720 \cdot 0,5 = 360$ км
   Ответ: 360 км.
2. Умная Ольга задумала число. Она прибавила к нему 5, потом разделила сумму на 3, умножила результат на 7, отняла 8, разделила на 5 и получила 4. Какое число задумала Ольга?
   Решение: Обозначим задуманное число как $x$. Составим уравнение по действиям:
   $\frac{\left(\frac{x + 5}{3} \cdot 7 - 8\right)}{5} = 4$
   Умножим обе части на 5:
   $\frac{x + 5}{3} \cdot 7 - 8 = 20$
   Прибавим 8:
   $\frac{x + 5}{3} \cdot 7 = 28$
   Разделим на 7:
   $\frac{x + 5}{3} = 4$
   Умножим на 3:
   $x + 5 = 12$
   $x = 7$
   Ответ: 7.
3. Торговец продал товар, имевший небольшой дефект, уступив покупателю 30% от назначенной цены. При этом он имел 16% убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара?
   Решение: Пусть себестоимость — $C$, планируемая цена — $P$. После уступки цена стала $0,7P$. Убыток 16% означает, что $0,7P = 0,84C$.
   Отсюда $P = \frac{0,84C}{0,7} = 1,2C$
   Планируемая прибыль: $\frac{P - C}{C} \cdot 100% = 20\%$
   Ответ: $20\%$.
4. На планете Многоручья используются такие меры измерения длины как рука, ладонь и палец. Известно, что рука и 20 пальцев уравновешиваются тремя руками, а 19 рук, ладонь и 15{,}5 пальца уравновешиваются 20 руками и 8 пальцами. Можем ли мы на основании этих данных определить, сколько ладоней уравнивают одну руку?
   Решение:
   1. Из первого условия: $1р + 20п = 3р \Rightarrow 20п = 2р \Rightarrow 1р = 10п$
   2. Подставим $р = 10п$ во второе уравнение:
   $19р + 1л + 15,5п = 20р + 8п$
   $19 \cdot 10п + 1л + 15,5п = 20 \cdot 10п + 8п$
   $190п + 1л + 15,5п = 200п + 8п$
   $205,5п + 1л = 208п$
   $1л = 2,5п = \frac{2,5}{10}р = 0,25р$
   Таким образом, $1р = 4л$
   Ответ: Да, 1 рука равна 4 ладоням.
5. В литературном кружке каждый участник прочитал ровно 5 книг, при этом оказалось, что каждую книгу прочитали ровно 5 участников. Докажите, что участников кружка и книг одинаковое количество.
   Решение: Пусть количество участников — $N$, книг — $K$. Каждый участник прочитал 5 книг, значит общее количество прочтений равно $5N$. С другой стороны, каждая книга прочитана 5 участниками, значит общее количество прочтений равно $5K$.
   Получаем уравнение: $5N = 5K \Rightarrow N = K$
   Ответ: Количество участников и книг одинаково.