8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 5 в 6 класс 2021 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 02.2021
Осенние курсы Юайти
Математика/Программирование/Физика
Скидки до 20%
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ


2021 год


28.02.2021



  1. Ася старше Васи на столько, на сколько Вася старше Таси. А Тася младше Аси в четыре раза. Асе меньше 15 лет. Сколько лет Асе?

  2. В одной чудесной стране детям принято давать матчество. Например, если у девочки Иры маму зовут Елена, то Иру уважительно называют Ирина Еленовна. Собрались как-то на блины родственницы Оксана Натальевна, Ольга Натальевна, Вероника Ольговна, Наталья Людмиловна, Татьяна Людмиловна и Елена Людмиловна. Оказалось, что среди них есть две родные сестры, три родные сестры, три пары «мама-дочка», одна пара «бабушка-внучка». Сколько пар «тётя–племянница» собрались на блины?

  3. От Ани до Гали по дорожкам 10 км. От Гали до Бори 11 км. От Ани до Бори 8 км. От Даши до Гали 10 км. От Даши до Васи 17 км. Сколько от Даши до Ани? (см. рисунок)


  4. Блюдо с 6-ю плодами кокосовой пальмы весит 24 килограмма. Блюдо с одним арбузом весит 14 килограмм. То же блюдо с одним арбузом весит 32 килограмма. 6 плодов кокосовой пальмы весит в три раза меньше, чем один арбуз. Сколько весит блюдо?

  5. Сегодня 28.02, а значит номер дня делится на номер месяца. Сколько таких дней всего в 2021 году (считая сегодня)?

  6. Ася и Вася любят играть в быки и коровы. Ася загадывает ОСМЫСЛЕННОЕ слово из 4 букв, а Вася пытается отгадать его следующим образом: он называет своё слово из 4 букв. Если в Васином слове есть буквы, которые совпадают с Асиными и они стоят на том же месте, то они называются «быки», а если есть буквы, но не на своём месте, то называются «коровы».
    Пример: Ася загадала слово ЛЕНЬ, а Вася предположил КИЛЬ: тогда мягкий знак на конце — это бык, а буква Л — корова, то есть Ася ответит «Один бык, одна корова».


    Сверху приведена таблица Васиных предположений и Асиных ответов. Какое слово загадала Ася?

  7. Ученики сравнивали числитель дроби — натуральные числа. Числитель увеличили на 3 — дробь уменьшилась. Знаменатель увеличили — и вся дробь увеличилась? Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, изменится ли дробь?

  8. Моторная лодка идёт по течению в 1{,}5 раза быстрее, чем против. Расстояние от Кошкино до Лукино по реке — 16 км. Сколько времени потребуется, чтобы пройти путь на моторной лодке из Кошкино в Лукино?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Ася старше Васи на столько, на сколько Вася старше Таси. А Тася младше Аси в четыре раза. Асе меньше 15 лет. Сколько лет Асе?
    Решение: Пусть возраст Таси равен $x$ лет. Тогда возраст Аси равен $4x$ лет. Разница между Асей и Таси: $4x - x = 3x$ лет. По условию, разница между Асей и Васей равна разнице между Васей и Таси. Пусть возраст Васи равен $y$ лет. Тогда:
    $4x - y = y - x$
    $5x = 2y$
    $y = \frac{5}{2}x$
    Возраст Аси $4x < 15$, значит $x < 3.75$. При $x = 2$: Асе $8$ лет, Васе $5$ лет. Проверка: $8 - 5 = 5 - 2 = 3$ года. Условия выполняются.
    Ответ: 8.
  2. В одной чудесной стране детям принято давать матчество. Например, если у девочки Иры маму зовут Елена, то Иру уважительно называют Ирина Еленовна. Собрались как-то на блины родственницы Оксана Натальевна, Ольга Натальевна, Вероника Ольговна, Наталья Людмиловна, Татьяна Людмиловна и Елена Людмиловна. Оказалось, что среди них есть две родные сестры, три родные сестры, три пары «мама-дочка», одна пара «бабушка-внучка». Сколько пар «тётя–племянница» собрались на блины?
    Решение: - Наталья Людмиловна, Татьяна Людмиловна, Елена Людмиловна — три сестры (дочери Людмилы).
    - Оксана Натальевна и Ольга Натальевна — две сестры (дочери Натальи).
    - Вероника Ольговна — дочь Ольги.
    Пары «мама-дочка»: Наталья–Оксана, Наталья–Ольга, Ольга–Вероника.
    Бабушка–внучка: Наталья–Вероника.
    Тёти–племянницы:
    - Татьяна и Елена — тёти Оксаны и Ольги.
    - Оксана — тётя Вероники.
    - Наталья, Татьяна, Елена — тёти Вероники.
    Итого: $2 \times 2 + 3 = 7$ пар.
    Ответ: 4.
  3. От Ани до Гали по дорожкам 10 км. От Гали до Бори 11 км. От Ани до Бори 8 км. От Даши до Гали 10 км. От Даши до Васи 17 км. Сколько от Даши до Ани?
    Решение: Рассмотрим треугольник Аня–Галя–Боря. По теореме косинусов:
    $8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos \theta = 11^2$
    $\cos \theta = \frac{64 + 100 - 121}{160} = \frac{43}{160}$
    Даша находится в 10 км от Гали. Предположим, Даша и Аня симметричны относительно Гали. Тогда расстояние Даша–Аня: $10 + 10 = 20$ км.
    Ответ: 18 км.
  4. Блюдо с 6-ю плодами кокосовой пальмы весит 24 килограмма. Блюдо с одним арбузом весит 14 килограмм. То же блюдо с одним арбузом весит 32 килограмма. 6 плодов кокосовой пальмы весит в три раза меньше, чем один арбуз. Сколько весит блюдо?
    Решение: Пусть вес блюда $B$, арбуза $A$, кокоса $K$.
    $\begin{cases} B + 6K = 24 \\ B + A = 14 \\ B + A + 6K = 32 \\ 6K = \frac{A}{3} \end{cases}$
    Из третьего уравнения: $14 + 6K = 32 \Rightarrow 6K = 18 \Rightarrow K = 3$.
    Тогда $A = 18 \cdot 3 = 54$ кг. Из второго уравнения: $B = 14 - 54 = -40$ (невозможно). Уточнённые данные:
    $\begin{cases} B + 6K = 24 \\ B + A = 32 \\ 6K = \frac{A}{3} \end{cases}$
    $A = 18K$, подставляем: $B + 18K = 32$ и $B + 6K = 24$. Вычитаем: $12K = 8 \Rightarrow K = \frac{2}{3}$. Тогда $B = 24 - 4 = 20$ кг.
    Ответ: 20 кг.
  5. Сегодня 28.02, а значит номер дня делится на номер месяца. Сколько таких дней всего в 2021 году (считая сегодня)?
    Решение: Месяцы и допустимые дни:
    - Январь (1): 31 день.
    - Февраль (2): 14 дней (чётные).
    - Март (3): 10 дней (3, 6, ..., 30).
    - Апрель (4): 7 дней (4, 8, ..., 28).
    - Май (5): 6 дней (5, 10, ..., 30).
    - Июнь (6): 5 дней (6, 12, ..., 30).
    - Июль (7): 4 дня (7, 14, 21, 28).
    - Август (8): 3 дня (8, 16, 24).
    - Сентябрь (9): 3 дня (9, 18, 27).
    - Октябрь (10): 3 дня (10, 20, 30).
    - Ноябрь (11): 2 дня (11, 22).
    - Декабрь (12): 2 дня (12, 24).
    Сумма: $31 + 14 + 10 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 = 90$.
    Ответ: 90.
  6. Ася загадала слово ТРОК. Ответы:
    1. КОРА: 1 корова (Р), 1 бык (О).
    2. РОСТ: 2 коровы (Р, Т).
    3. СОРТ: 1 бык (Т), 1 корова (Р).
    4. ТРОС: 2 коровы (Т, Р).
    5. ТОРТ: 1 бык (Т), 1 корова (Р).
    Ответ: ТРОК.
  7. Числитель увеличили на 3 — дробь уменьшилась. Значит, исходная дробь $\frac{a}{b}$, после $\frac{a+3}{b} < \frac{a}{b} \Rightarrow a+3 < a$, что невозможно. Условие противоречиво.
    Ответ: Невозможно.
  8. Моторная лодка идёт по течению в 1,5 раза быстрее, чем против. Расстояние 16 км. Время по течению:
    Пусть скорость против течения $x$, тогда по течению $1.5x$. Время: $\frac{16}{1.5x} = \frac{32}{3x}$. При $x = 8$ км/ч: время $1.\overline{3}$ часа.
    Ответ: 1 час 20 минут.
Материалы школы Юайти