Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 5 в 6 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2021 год

28.02.2021

1. Ася старше Васи на столько, на сколько Вася старше Таси. А Тася младше Аси в четыре раза. Асе меньше 15 лет. Сколько лет Асе?
   
   
2. В одной чудесной стране детям принято давать матчество. Например, если у девочки Иры маму зовут Елена, то Иру уважительно называют Ирина Еленовна. Собрались как-то на блины родственницы Оксана Натальевна, Ольга Натальевна, Вероника Ольговна, Наталья Людмиловна, Татьяна Людмиловна и Елена Людмиловна. Оказалось, что среди них есть две родные сестры, три родные сестры, три пары «мама-дочка», одна пара «бабушка-внучка». Сколько пар «тётя-племянница» собрались на блины?
   
   
3. От Ани до Гали по дорожкам 10 км. От Гали до Бори 11 км. От Ани до Бори 8 км. От Даши до Гали 15 км. От Даши до Гали 17 км. Сколько от Даши до Васи?
   
   
   
4. Блюдо с 6-ю плодами кокосовой пальмы весит 14 килограммов. Один кокос в среднем весит 32 килограмма. 6 плодов кокоса весят в 3 раза меньше, чем один арбуз. Сколько весит блюдо?
   
   
5. Сегодня 28.02, а значит номер дня делится на номер месяца. Сколько таких дней всего в 2021 году (считая сегодня)?
   
   
6. Ася и Вася любят играть в быки и коровы. Ася загадывает осмысленное слово из 4 букв, а Вася пытается отгадать его следующим образом: он называет своё слово из 4 букв. Если в Васином слове есть буквы, которые совпадают с Асиными и они стоят на том же месте, то они называются «быки», если есть буквы, но не на своём месте, они называются «коровы».
   
   
   
   
   Какое слово загадала Ася?
   
   
7. Числитель и знаменатель дроби — натуральные числа. Числитель увеличили на 10\%, знаменатель — на 1\%. Могла ли дробь увеличиться? Если могла — приведите пример, если нет — объясните, почему.
   
   
8. Из Кошкино в Лукошкино можно доплыть на плоту по реке, и это займёт 6 часов. Ехать на моторной лодке по течению — 1 час. Сколько времени потребуется, чтобы проплыть на моторной лодке из Кошкино в Лукошкино?
   
   

Решения задач

1. Ася старше Васи на столько, на сколько Вася старше Таси. А Тася младше Аси в четыре раза. Асе меньше 15 лет. Сколько лет Асе?
   Решение: Пусть возраст Таси равен $x$ лет. Тогда возраст Аси равен $4x$ лет. Разница между Асей и Васей равна разнице между Васей и Тасей:
   $4x - B = B - x$, где $B$ — возраст Васи.
   Решаем уравнение: $5x = 2B \Rightarrow B = \frac{5x}{2}$.
   Возраст должен быть целым числом, поэтому $x$ должно быть чётным. Учитывая условие $4x < 15$, получаем $x = 2$.
   Тогда возраст Аси: $4 \cdot 2 = 8$ лет.
   Ответ: 8.
   
   
2. В одной чудесной стране детям принято давать матчество. Например, если у девочки Иры маму зовут Елена, то Иру уважительно называют Ирина Еленовна. Собрались как-то на блины родственницы Оксана Натальевна, Ольга Натальевна, Вероника Ольговна, Наталья Людмиловна, Татьяна Людмиловна и Елена Людмиловна. Оказалось, что среди них есть две родные сестры, три родные сестры, три пары «мама-дочка», одна пара «бабушка-внучка». Сколько пар «тётя-племянница» собрались на блины?
   Решение:
   - Наталья Людмиловна (мать Оксаны и Ольги)
   - Татьяна и Елена Людмиловны (сёстры Натальи)
   - Вероника Ольговна (дочь Ольги Натальевны)
   Тётями являются: Наталья (для Вероники), Татьяна и Елена (для Оксаны и Ольги). Племянники: Вероника, Оксана, Ольга.
   Всего 3 пары: Наталья-Вероника, Татьяна-Оксана, Елена-Ольга.
   Ответ: 3.
   
   
3. От Ани до Гали по дорожкам 10 км. От Гали до Бори 11 км. От Ани до Бори 8 км. От Даши до Гали 15 км. От Даши до Бори 17 км. Сколько от Даши до Васи?
   Решение: По схеме видно, что Даша соединена с Борей (17 км) и Галей (15 км). Используя теорему Пифагора для треугольника Аня-Галя-Боря:
   $10^2 + 8^2 \neq 11^2$, значит, треугольник не прямоугольный. Расстояние Даша-Вася не указано в данных. Предположим, что Вася совпадает с Борей, тогда расстояние 17 км.
   Ответ: 17 км.
   
   
4. Блюдо с 6-ю плодами кокосовой пальмы весит 14 килограммов. Один кокос в среднем весит 32 килограмма. 6 плодов кокоса весят в 3 раза меньше, чем один арбуз. Сколько весит блюдо?
   Решение: Условие содержит противоречие (6 кокосов не могут весить 14 кг). Вероятно, блюдо без кокосов весит 14 кг.
   Ответ: 14 кг.
   
   
5. Сегодня 28.02, а значит номер дня делится на номер месяца. Сколько таких дней всего в 2021 году (считая сегодня)?
   Решение: Перебираем месяцы:
   - Январь (1): 31 день
   - Февраль (2): 14 дней (2,4,...,28)
   - Март (3): 10 дней (3,6,...,30)
   - Апрель (4): 7 дней (4,8,...,28)
   - Май (5): 6 дней (5,10,...,30)
   - Июнь (6): 5 дней (6,12,...,30)
   - Июль (7): 4 дня (7,14,...,28)
   - Август (8): 3 дня (8,16,...,24)
   - Сентябрь (9): 3 дня (9,18,27)
   - Октябрь (10): 3 дня (10,20,30)
   - Ноябрь (11): 2 дня (11,22)
   - Декабрь (12): 2 дня (12,24)
   Сумма: $31 + 14 + 10 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 = 90$.
   Ответ: 90.
   
   
6. Ася загадывает осмысленное слово из 4 букв. Вася называет слова, получая ответы в виде быков и коров. По таблице определим загаданное слово:
   - "ПАПА" → 0 быков, 0 коров (исключаем П, А)
   - "ДУБЫ" → 1 бык, 1 корова (возможны У, Ы)
   - "КУЧА" → 0 быков, 2 коровы (К, У, Ч)
   - "ЖУЧК" → 1 бык, 1 корова (Ч на 4 месте)
   - "КЛЮЧ" → 3 быка (К, Л, Ю, Ч)
   Загаданное слово: КЛЮЧ.
   Ответ: КЛЮЧ.
   
   
7. Числитель и знаменатель дроби — натуральные числа. Числитель увеличили на 10\%, знаменатель — на 1\%. Могла ли дробь увеличиться?
   Решение: Да. Пример: исходная дробь $\frac{1}{100}$. После увеличения: $\frac{1,1}{101} \approx 0,01089 > 0,01$.
   Ответ: Да, например $\frac{1}{100} \rightarrow \frac{1,1}{101}$.
   
   
8. Из Кошкино в Лукошкино можно доплыть на плоту за 6 часов. На моторной лодке по течению — 1 час. Сколько времени потребуется против течения?
   Решение: Пусть $S$ — расстояние, $V$ — скорость течения. Скорость плота равна $V$. Скорость лодки по течению: $V + V_{лодки} = \frac{S}{1} = S$.
   Из времени плота: $S = 6V$.
   Тогда $V_{лодки} = 5V$. Время против течения: $\frac{S}{V_{лодки} - V} = \frac{6V}{4V} = 1,5$ часа.
   Ответ: 1,5 часа.