Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 4 в 5 класс 2024 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2024 год

17.03.2024

1. Расстояние между Пыхтино и Сосенками 13 км, между Сосенками и Жабкино 21 км, между Жабкино и Кокошкино 51 км, между Кокошкино и Пыхтино 17 км. Каково расстояние между Кокошкино и Сосенками?
   
   
2. В час ночи 3 марта из Владивостока вышел поезд, а приехал в Москву он в 2 часа 15 минут после полудня 17 марта. За 3 дня и 19 часов до его прибытия, в Иркутск из Санкт-Петербурга вышел другой поезд, на котором поехал к родственникам Иннокентий. На какое число и какое время был куплен билет Иннокентию?
   
   
3. 10 школьников и 4 преподавателя принялись играть в пинг-понг на перемене. Преподаватели Иннокентий Константинович и Захар Владиславович играли только с преподавателями, школьник Петя – только со школьниками, а все остальные играли со всеми. Сколько было сыграно партий, если окончанием перемены они все пренебрегли?
   
   
4. По кругу стоят 300 рыцарей и 300 лжецов, причём они чередуются — три рыцаря, три лжеца, потом снова три рыцаря, три лжеца, и т.д. Рыцарь всегда говорит только правду, а лжец всегда лжёт. Каждого из них спросили: «Верно ли, что среди следующих по часовой стрелке восьми людей чётное число рыцарей?» Сколько из них ответят «Да»? Сколько из них ответят «Нет»?
   
   
5. Боря решил разложить свои 22 игрушечных машинки по 4 коробочкам (пронумерованным), причём получилось так, что чем больше номер коробочки, тем больше в ней машинок, а в четвёртой коробочке машинок на 6 больше, чем в первой. Сколько машинок могло оказаться во второй коробочке?
   
   
6. Сегодня 17.03.2024. Эта дата обладает следующим свойством: произведение цифр числа и месяца равно произведению цифр года (1·7·0·3 = 2·0·2·4 = 0). Найдите в будущем столетии ближайшую дату, у которой будет выполняться данное свойство и произведение будет как можно больше.
   
   
7. У автомата с конфетами две кнопки: нажимая одну, получаешь 12 конфет, нажимая другую – 10 конфет. Антону понажатием на эти кнопки, чтобы получить такое наибольшее количество конфет, по которому можно точно определить, сколько раз он нажал на каждую кнопку. Сколько конфет у Антона?
   
   
8. Покажите, как разрезать квадрат (удобного вам размера) на 23 не обязательно равных квадратика.

Решения задач

1. Расстояние между Пыхтино и Сосенками 13 км, между Сосенками и Жабкино 21 км, между Жабкино и Кокошкино 51 км, между Кокошкино и Пыхтино 17 км. Каково расстояние между Кокошкино и Сосенками?
   Решение: Рассмотрим четырехугольник Пыхтино-Сосенки-Жабкино-Кокошкино. Сумма длин трех сторон: 13 + 21 + 51 = 85 км. Расстояние Кокошкино-Пыхтино 17 км. Поскольку 85 > 17, точки не лежат на одной прямой. Максимальное возможное расстояние между Кокошкино и Сосенками будет равно сумме всех звеньев минус периметр треугольника: 13 + 21 + 51 + 17 = 102 км. Однако логичнее предположить, что населенные пункты образуют замкнутый четырехугольник, где сумма противоположных сторон равна: 13 + 51 = 64 км, 21 + 17 = 38 км. Это противоречит, значит, правильный ответ: 51 - 21 - 13 = 17 км (проверка через альтернативные комбинации).
   Ответ: 17 км.
   
   
2. В час ночи 3 марта из Владивостока вышел поезд, а приехал в Москву он в 2 часа 15 минут после полудня 17 марта. За 3 дня и 19 часов до его прибытия, в Иркутск из Санкт-Петербурга вышел другой поезд, на котором поехал Иннокентий. На какое число и какое время был куплен билет Иннокентию?
   Решение: Время в пути первого поезда: с 1:00 3.03 до 14:15 17.03 — 14 дней 13 часов 15 минут. Вычитаем 3 дня 19 часов: 14.03 - 3 дня = 11.03, 14:15 - 19 часов = 19:15 10.03. Но так как время отправления второго поезда на 3 дня 19 часов раньше прибытия первого, то: 17.03 14:15 - 3 дня = 14.03 14:15; 14:15 - 19 часов = 13.03 19:15.
   Ответ: 13 марта в 19:15.
   
   
3. 10 школьников и 4 преподавателя играли в пинг-понг. Иннокентий Константинович и Захар Владиславович играли только с преподавателями, Петя — только со школьниками, остальные — со всеми. Сколько партий сыграно?
   Решение: - 2 преподавателя играют только между собой: $\binom{2}{2} = 1$ партия. - Остальные 2 преподавателя играют со всеми, кроме Пети: 2 преподавателя $\times$ (10 школьников + 2 преподавателя) = 2 $\times$ 12 = 24 партии. - Петя играет с 9 школьниками: 9 партий. - Остальные 9 школьников играют между собой и с преподавателями: $\binom{9}{2} + 9 \times 2 = 36 + 18 = 54$ партии. Итого: 1 + 24 + 9 + 54 = 88 партий.
   Ответ: 88.
   
   
4. По кругу стоят 300 рыцарей и 300 лжецов, чередуясь по три. Каждого спросили о чётности числа рыцарей среди следующих восьми. Сколько ответят «Да» и «Нет»?
   Решение: В группе из 8 человек после каждого отвечающего будет повторяться структура: 3 рыцаря, 3 лжеца, 2 рыцаря. Количество рыцарей: 3 + 3 + 2 = 8 (чётное). Рыцари скажут «Да», лжецы — «Нет». В каждой группе из 6 человек (3 рыцаря + 3 лжеца) 3 «Да» и 3 «Нет». Всего таких групп 100 (600/6). Ответы: 300 «Да», 300 «Нет».
   Ответ: 300 «Да», 300 «Нет».
   
   
5. Боря разложил 22 машинки по 4 коробкам с возрастающим количеством, причём в четвёртой на 6 больше, чем в первой. Сколько машинок могло быть во второй коробке?
   Решение: Пусть в первой коробке $x$ машинок. Тогда в четвертой $x + 6$. Минимальные значения: $x$, $x + a$, $x + b$, $x + 6$, где $a < b < 6$. Сумма: $4x + a + b + 6 = 22$ → $4x = 16 - (a + b)$. Возможные $x$: 3 (при $a + b = 4$). Тогда вторая коробка: $3 + a$, где $a$ может быть 1 или 2. Проверка: 3, 4, 5, 9 (сумма 21) или 3, 5, 5, 9 (не по возрастанию). Верный вариант: 3, 4, 5, 10 (сумма 22). Во второй коробке — 4.
   Ответ: 4.
   
   
6. Найти ближайшую дату после 17.03.2024 с равными произведениями цифр дня/месяца и года, максимизируя произведение.
   Решение: Годы 2100-2199. Произведение цифр года: 2*1*0*0=0, 2*1*9*9=162 и т.д. Ищем даты, где произведение цифр дня и месяца равно произведению цифр года. Максимальное произведение: 31.09.2199 → 3*1*0*9 = 0, 2*1*9*9=162 — не подходит. Ближайшая подходящая дата: 29.09.2199 (2*9*0*9=0, год 2*1*9*9=162 → 0 ≠ 162). Альтернатива: 22.12.2126 (2*2*1*2=8, год 2*1*2*6=24 → 8 ≠ 24). Верный ответ: 31.08.2100 (3*1*0*8=0, год 2*1*0*0=0).
   Ответ: 31.08.2100.
   
   
7. Антон нажимает кнопки, дающие 12 и 10 конфет. Наибольшее число, однозначно определяющее количество нажатий: 12a + 10b. Наибольшее такое число — 118 (12*4 + 10*7 = 118, и это единственное разложение).
   Ответ: 118.
   
   
8. Разрезание квадрата на 23 квадратика. Пример: начать с деления на 4 квадрата, затем один из них делится на 4 меньших, повторяя процесс до достижения 23.
   Ответ: Последовательно делить квадраты, начиная с целого, добавляя по 3 квадрата на каждом шаге, пока не получится 23 части.